“我敢打赌！这绝对缺少条件！”家长直呼这道题有问题，条件太少，根本求不出阴影部分面积。 如图所示，直角三角形一条直角边是31，另一条直角边和斜边都是整数，求三角形面积？ 就是通过勾股定理列出等式，然后根据平方差公式分析就可以了。家长必看数学题
c²-a²=31²，(c+a)(c-a)=31²，c+a=31²…①，c-a=1…②，①+②得：2c=962，c=481，a=480，S△=480×31/2=7440
因为31*31=961，31是质数，所以961只有1，31，961三个因数。设两直角边为a、b，斜边为c，令a=31，则31²+b²=c²，即c²-b²=31²，由平方差公式可得（c+b）（c-b）=31²=961。所以有1.c+b=31且c-b=31，∴c=31，b=0，显然不能组成三角形，舍弃。 2.c+b=961且c-b=1（因为斜边大于直角边，c>b），∴c=481，b=480，∴S△=0.5*480*31=7440
31是质数 （百以内要背，这算开挂）用筛除法判断质数太慢了 质数的平方只有3个因数 （老师通常一带而过） 所以961的因子只有1，31，961
![论标点符号的重要性[doge]](http://image.uczzd.cn/4122795436476452888.jpg?id=0)
用户11xxx62
设三角形直角边为X，斜边为Y， 那么31²=Y²-X²=（Y+X）（Y-X）=31*31=961=481+480=（481+480）*（481-480）。 所以Y=481，X=480
竹叶 回复 01-09 12:06
仔细读题，整数！
王大爷 回复 01-19 06:19
思路不清晰，480哪来的没说明白
彯絮隨颩
b－a=1,b+a=961 b=481,a=480 s=½×480×31=7440
晕呼呼1987
31质数，唯一解
白色简单 回复 12-19 15:37
斜边得是整数
莫当真 回复 白色简单 12-19 16:09
看到了，刚直看了图，没注意文中还有题目文字。这种帖子不都是直接照原题么，谁知道文中还有其他题目。盲目了
晚风
31✖️31＝961，961另一个分解只能是1✖️961，所以另外两条边答案唯一，就是481和480。
Hjnhw 回复 01-01 23:21
没眼睛的吗，题目都说了另一边直角边和斜边都是整数。
闹钟企鹅 回复 12-19 10:50
需要治眼睛，人家题目明确说了直角边和斜边都是整数，还在这里胡搅蛮缠有理数
真相_在新浪微博账号djhesl
这个不可能，因为要求是整数……
用户2025
31*31=961 961的质数只有1和961 因此x-y=1 x+y=961可解两个边长分别是480，481即 480*31/2=7440
donggang1
设斜边为x，直角边为y，x平方—y平方=31平方等于961，x+y=961，x—y=1，得x=481，y=480，
JYYX
丫的，480✘480+31✘31=481✘481
JYYX 回复 12-15 20:16
原来勾股定理中，一条边是奇数，一定可以构建出 斜边和另一个直角边相差为1的整数解。
JYYX 回复 12-16 20:51
稍微写一下过程。m^2-31^2=n^2 因为n<=m-1，所以 m^2-31^2 <=m^2 - 2m + 1所以 m<= （31^2+1）/2=481。后来发现任意奇数直角边 2k+1，2k^2+2k+1 和 2k^2+2k一定是 斜边和另一直角边整数解（平方差易验证）。
猎鹰
就是个平方差，这个题其实是找勾股数，是存在的，就是比较大，正常的题用不到。
真相_在新浪微博账号djhesl
应该说质数或素数，奇数是笔误
谢蕙珊
另外两条边是整数，这俩整数的平方差是31x31=961,那么也就是说，这俩整数的和(整数)x这俩整数的差(整数)是961,所以和是961，差是1，一个边是481，一个边是480，
行者不胖
正解[点赞]
黑麒麟
我还是看不懂，明明只有一边标了31，他们是怎么算出961的？就算将它用虚线画成长方形，或正方形都不好直接推算吧？
陆上大老虎江中小白龙
我看看有哪个大聪明说能算出来的，还一本正经的算起来了。
用户10xxx80 回复 12-21 14:56
X²-Y²=31² 求正整数解，为什么算不出来？
眼睛的主人
题没有毛病，但示图不符合答案比例。。
chen8899f
这是小学的题目？
包纳尔多
谁能严谨证明唯一解
§旷野飘零§ 回复 01-23 00:59
质数，勾股数，正整数
用户17xxx54
直接画斜边的高，那就形成三个相似的三角形，他们的边都是斜边！大小是整数比！自己套数字
心浪
我都是直接用整数凑，从一开始[滑稽笑]
用户16xxx75
打印出来，按比例量一量不就出来咯
用户14xxx46
整数和定律，用解释公式，推理排解
用户14xxx46
排解满足定律
茶马古桥
底边是31，立边可以无限延长，斜边就会也变大，内角没有数值，爱因斯坦也算不出来
聚会子
解可能有很多，因为三角形面积是二分之一的底乘高，底是31，那高和斜会有很多组符合整数的条件。
§旷野飘零§ 回复 01-23 01:05
31是质数，那么31²只有3个因数，1，31，961。所以斜边²－直角边²＝31²，平方差公式斜边+直角边＝961，斜边－直角边＝1，斜边481，直角边480。
Locky
玩质数梗