“爸爸，金鱼模型好难！”六年级女儿的一道几何压轴题，双一流大学的老爸足足思考半小时，女儿都等急了。 如图所示，求阴影部分面积？ 看似复杂的几何图形，可以根据图形对称性思考问题，然后利用面积差解答，关键就是辅助线的思考方式。
问题可分解为： 阴影面积= =整面积—半球面积—半球不重叠面积 = 整面积—半球面积—（半球面积—半球重叠面积） = 整面积—半球面积—（半球面积—（半球面积—半球内三角形面积）） = 整面积—半球面积—半球面积+半球面积—半球内三角形面积 = 整面积—半球面积—半球内三角形面积
跟上次那个题目是同一类型，要先求重叠部分面积。先补全正方形OACB，再在AC，BC边上作半圆，然后4个半圆面积之和减去正方形面积，再除以4就得重叠部分面积，然后就好做了。[并不简单]
从中间的交点向左、向下作垂线。于是我们就知道那个不规则的图形是一个正方形和两个90度的小扇形拼接而成的。这样就非常好计算了。
用户10xxx48
75π/2-25
王大爷 回复 01-19 06:06
1/8*π100=12.5π不是25π，思路是对的这一步算错了
tb20005_2013 回复 12-28 02:54
没必要证明，他这个AB线一点用都没
道友
扇形AOB面积为10×10×π/4=25π，两个半圆面积和也为25π，设4个小块面积分别为a(左)、b(中眼)、a(下)、c(阴影)，则有2a+2b＝2a+b+c=25π，即c=b=25π/2-25
周紫宏 回复 01-04 22:26
你的最后一步只能算到c=b
燕山野叜 回复 12-24 21:46
\
酷跑大师
应该是大圆面积的4分之一面积减去直径为5小圆面积的一半减去边长5的正方形面积后即为阴影面积[并不简单]
像梦一样自由 回复 12-18 01:18
半径为5的半圆
春花秋月 回复 01-18 23:01
正解
迷途羔羊
还有怎么证明0-B之间的距离？
忘记账号
要知道这是小学六年级的题目，不要用复杂的思维去考虑，怎么把解答简单化符合小学的知识水平才是重点。
忘记账号 回复 12-19 11:51
脑子比较差的看这个
爱吃高压板栗的斑马 回复 忘记账号 01-14 22:41
这个题难点是如何用小学六年级的知识告诉孩子那个小正方形的边长是5
一天涯
这个搞那么复杂？设阴影部分为a,两个半圆重叠部分为b，两个半圆其它部分分别为c.d即可求出a＝b后，代入即可
一天涯 回复 01-20 12:33
两个半圆的面积等于1/4大圆面积，即可求出a=b,根本不用辅助线，用基础的圆面积公式即可，后面直接代入求出答案，根本不难
用户99xxx20
金鱼模型最简单，要弄懂四个部分相等。连接A B。两个半圆交点为C则，连接CO，则弦AC、bc、OC、所夹的4个小弧都相等。其次鱼头OC所来面积等于鱼尾ACB所夹面积。证明方法也很简单，设A0 = r则两个小圆面积为兀*（1/2*r）^2=1/4*兀*r^2。1/4个大园面等于1/4兀*r^2。即两个小园所夹鱼头等于1/4个大园减去两个小半园以及所夹部分的鱼尾即阴影部分面积。
tb20005_2013
半径10的¼圆减去两个半径5的½圆：10π²×¼-5π²
tb20005_2013 回复 12-15 22:05
我做错了，还要减去重叠的部分
清风拂面吃起来
问题可分解为： 阴影面积=整面积—半球面积—半球不重叠面积= 整面积—半球面积—（半球面积—半球重叠面积）= 整面积—半球面积—（半球面积—（半球面积—半球内三角形面积））=25兀—12.5兀—（12.5兀—（12.5兀—25））=12.5兀—25
清风拂面吃起来 回复 12-18 17:10
可以理解为阴影面积=半球重叠面积=半球面积—半球内三角形面积
南山大忽悠狼
别先急着答题，先看这题怎么画法？一个直径10的圆，一个为8的圆，A→B这段弧线怎么来的？存在吗？是否错了条件
JYYX 回复 12-18 22:24
你这样大弧线成椭圆了。椭圆面积是小学能接触的的么？
用户16xxx97 回复 12-19 12:42
人家那不是8.那是端点，b是b点。 B点到o点的距离也是10。你这是要自己给自己制造麻烦哟。
用户76xxx01
简单啊，扇形减去2个半径为5的扇形减去边长为5的正方形
用户76xxx01 回复 01-20 11:07
你画图就明白了，半圆相交点，做对哦OAOB垂线，是不是构成了正方形，剩下的不就是两个半径为5的扇形
JYYX 回复 用户76xxx01 01-20 11:39
才搞明白你开始回答的意思。你用词不准确。扇形并不等价于1/4圆。180度的圆弧也叫扇形。你的扇形其实该叫1/4圆。
用户14xxx46
都是技巧铺助边算，切段重叠加，不知道奥妙点或者忘了或没听老师的数学法则，很难想通
一叶知秋
12.5π-25
用户16xxx54
最简单的算法：扇形AOB的面积-三角形AOB的面积的差再÷2即可算出阴影部分面积，中间证明阴影部分和两个半圆重叠部分面积相等可以不写，小学生不需要写证明过程也可以的。
宁晨
现在小学六年级学到哪里了？就算辅助线画好了，也要用到一些几何证明才能定某些线段值。难点在于你要用小学六年级的知识水平解题。
╮(╯▽╰)╭ 回复 01-10 09:55
小学开始学圆面积没？
一叶知秋 回复 01-19 18:58
一个面积公式还不够？
老贩筒
思路：半径10的扇形减去半径5的两个半圆，然后加上中间的页子部分，因为页子部分重叠多减了一次。页子面积是半径5的扇形减去长高均为5的三角形后，再乘以2。
老贩筒 回复 12-18 11:40
计算后结果是14.25。然后惊奇地发现，扇形面积和两半圆面积一样，鱼身和鱼尾面积也一样
JYYX 回复 老贩筒 12-18 22:34
答案肯定带π。再说鱼头鱼尾面积相等没啥惊奇的。半径是1/2面积是1/4这不正常么？
盛开
直角标注一个直边的长度
默默无语
一群sb。这么简单都不会。你把这个大圆圈画完整了，然后再画4个小圈圈。你算下大圆的面积，和4个小圆的面积相加。他们相等。为啥相等？不就是中间的重叠部分你多加了4次。4个小圆加这多加的部分竟然和大圆一样。要是减去这多加的部分呢，如何才能和大圆面积一样？可能是要再加上阴影的部分4次。最后得出阴影部分和叠加的面积是一样大。会做了吗？
受了内伤的冰
这是四分之一圆，这个题目想要考察的是数学发散思维，由局部到整体，再从整体求局部来解决问题的能力，剩余四分之三的相同部分补齐，阴影部分面积就等于整圆面积减去四个有重合小圆面积再除以四即可
达哥
连接AB，阴影面积=扇形AOB-直角等腰三角形AOB=25π-50
爱吃萝丝
我觉得，难点在于不能凭空猜两个半圆的交点连接圆心是垂直于直径的，得证明这个东西，这就复杂了
西凉董卓 回复 12-20 22:56
如果你说的直径是AB的话（因为图里实在找不出直径了），OB是小半圆所在的圆的直径，设两个半圆交点为C，则OC垂直于OB，同理OC也垂直于OA。
游民 回复 01-19 22:51
这个是真理[捂脸哭]不用猜的
漂流
简单14.25
用户14xxx69
评论区全是大神！
追求
能够知道做辅助线就很明白了，解几何题，做辅助线是解题（聪明的）关键！！！
雷泽归未
这个题无解。没说a0，b0是否直径，角a0b是否直角，0是否圆心。在题目没明确说明时，都需要自己证明
雷泽归未 回复 12-21 20:14
这个题让我想起一个笑话：生物考试，老师要学生答出一只只露脚的鸟名字。一学生答不出就蒙头把脚放桌子上。老师生气滴问：你叫什么？学生答，你猜！
用户11xxx47
扇形减去2个半圆，加上2个半圆相交的部分
遥远的星空
（1/4*π*5*5-5*5*1/2）*2
像梦一样自由
1/4π10²-1/2π5²-5²=12.5π-5²
用户10xxx37
一眼看出算法的题，双一流出来的不会做，学体育的吗？
穿云箭
简单，CAD不用五分钟就出来了[滑稽笑][滑稽笑]
用户16xxx54
S阴=（¼大圆面积-△AOB面积）÷2 因为大圆半径和小圆半径比是1：2所以面积比是1：4，即两个小半圆的面积刚好＝¼大圆面积 扇形减去两个小半圆多减去一次重叠部分，即可得小圆重叠部分面积跟阴影部分面积相等 即S1+S2=S阴=S3+S4，可以得到S3+S4的面积跟阴影部分面积相等，所以只需要用扇形面积减去△AOB面积，再平均分即可得出结果
樱落
外圆方程f1(x):X^2+y^2=100 2内圆分别为:f2(x):x^2+(y-5)^2=25 f3(x):(X-5)^2+y^2=25 面积S=∫(0，5)[f1(x)-f2(x)]dx+∫(5，10)[f1(x)-f3(x)]dX
樱落 回复 樱落 12-21 14:24
又或1/4π×10^2-2×1/4π-5×5=25x/2-25
樱落 回复 12-21 14:08
或40π-25π+∫(0，5)[f2(X)-f3(x)]dⅹ
用户14xxx27
怎么证明0到b的距离。怎么证明是个直角？
用户10xxx49
有病吧！还发这些歪瓜裂枣题上去，无语啊！首先题目没说明AO等于BO.如果有说明这个就很好解题了。
用户18xxx40
1/4大圆一个小圆不就行了
疯刘易世
过中间交点做两条垂线，1/4大圆-1/2小圆-正方形
寂寥山雀
ao，bo取中做小正方形，一目了然！
用户16xxx86
阴影部分面积好像等于两个小圆相交的面积
用户12xxx68
无解的。出题不严谨，缺少必要的说明，看似直角或半圆，就一定是直角或半圆了吗？
JYYX
这题没难度，小半圆相交部分可以用两小1/4圆和小正方形差值求出。容易求出答案为 π25/2-25
往事
请cad隆重出场
九月
图画不标准，标准点就容易看出。扇形减半圆，减小三角，
璀星独璨
双一流做不出来？你在侮辱谁呢？这题但凡思考超过三秒的都是学渣！
云卷云舒
这他喵的是六年级数学？
用户10xxx77 回复 12-22 12:49
想当年要是在新疆，进C9应该有机会的
D_jiahe
好歹给个oa垂直于ob吧
武寒旭
小半圆拆分1/4圆和等腰直角三角形，这可能是取优算法。
傻得有水平
图再拆一下，2个1/4圆+1个正方形是空白区。
林浩
补全法
林浩 回复 12-31 16:46
直接画出整个圆和四个阴影这样会不会简单点
5plus5
用户10xxx14
做几何，从小就记得，划线是关键[打脸]
五魁首 六六六
如果大扇形是四分之一圆，四分之一大扇形减两个四分之一小扇形再减5为边的正方形
只争朝夕
四分之一半径为10的圆面积，减一个半径为5的圆面积，即为阴影部分面积。不知道对不对
贪财好色的俗人
这道题，应该是差不多三十年前的小学奥数题
用户10xxx73
重叠部分面积，1/4兀x5x5一1/2x5x5得出的结果乘2
不想被发现
一个半径为10的四分之一圆减一个半径为5的半圆再减一个边长为5的正方形，很简单吧
RefereeofFinalG4
如果∠AOB默认直角，AO、BO是两个半圆直径就能算，两个小半圆面积➖重叠部分面积（设为Y）➕阴影部分面积（设为X）＝四分之一大圆面积，大圆直径是小圆的一般，最终得到X＝Y，题即为求Y。连接O和小半圆圆弧交点（标记为D，也为小半圆圆弧中点）。OD为四分之一小圆，过D点做OB垂直线，交点为小圆圆心，标记为O¹。三角形O¹DO为等腰直角三角形，直角边为小圆半径。Y一半面积为1/4小圆面积➖等腰直角三角形面积，乘2即为重叠部分Y面积＝阴影部分面积。25×（1/2π-1）
阿艾尔
这题出的有问题太不严谨了
暗夜
小学题有可能默认这是大圆4分1那个角90度。两个小半圆相等。否则这题无解。
用户43xxx01
（25π-50)÷2
星星点灯
两个字，不会
Anthony倪先森
一看就会这么简单需要思考半小时？？？
迷迷糊糊就走到了这个岁数
AB连线
像梦一样自由
外圆内方，就是1/2*0.84*5²
多情贱客无情贱
就这？还双一流？
言贩子
二分之二十五派减二十五。
大鱼不上班
OB多长
青山绿水
一个正方形加两个4分之一小扇形即可。
盛世在摇
连接AB，阴影等于弓形AB的一半
精神病
又菜又爱看，看又看不懂
势大力沉
（25π-50）/2
拂晓
总面积-半径为5的半圆-边长为5的正方形=阴影面积
模拟电路虫
双一流有点水啊，学艺术类的[哭笑不得]
忝老二
25丌一（25丌一2（4/25丌一2/25））=2/25丌一25
此心安
前提是以上图形都是半圆或1/4圆。记弧oa与弧ob交于点c，记两半圆圆心分别为d、e，连接cd、ce，则四边形odce为正方形。故阴影面积=1/4大圆面积—一个小半圆面积—正方形面积
生死蛊
设半圆交叉面积为S，补全正方形，按边为直径画另外两个圆形，则每个半圆面积为π*5²/2，四个半圆面积和为2*5²*π，则有4*S=2*5²π-10²。解得交叉面积S=25π/2-25。隐形面积可解。
Micbell
绿色部分面积是174.75吧。
用户11xxx11
四分之一大圆减二分之一小圆再减小正方形
MADAO
12.5π-25
用户99xxx20
（1/4*兀*10*10-10*10/2）/2=12.5兀-25
爱吃高压板栗的斑马
25π/2-25
用户14xxx27
条件充分吗？
春花秋月
12.5π-25
栤心絶戀天涯
希望能帮到你
濂溪子
S阴影=1/4大圆-两半圆+两半圆重叠，S阴影=两半圆重叠， 两半圆重叠=两个月亮形面积=小半圆-三角形（1/4正方形）， S阴影=25π/2-25
用户15xxx20
做两条辅助线，可以把空白处划成2个1/4圆和一个正方形。
风清云淡
哇真的好难唉😔
风清云淡
S=πRR/4-rr-πrr/2 =25π-25-12.5π =12.5π-25。 唉！真的太难啦！[狗头][狗头][狗头]
果子狸