本文通过常数分离法、反解法、判别式法和导数法，介绍求解分式函数y=(16x²+5)/(4x²+1)的值域的主要步骤。

∵y=(16x²+5)/(4x²+1)，

∴y=[4(4x²+1)+1/1]/(4x²+1),

=4+1/1/(4x²+1).

又x²≥0，则：

4x²+1≥1，可知0<1/(4x²+1)≤1/1,

即：0<1/1/(4x²+1)≤1.

所以: 4＜y=4+1/1/(4x²+1)≤5.

故函数的值域为(4,5]。

∵y=(16x²+5)/(4x²+1)，

∴x²=(5-1y)/(4y-16)≥0，则不等式等同于：

(1y-5)(4y-16)≤0，且4y≠16，

解不等式得：4＜y≤5，

故函数的值域为(4,5]。

∵y=(16x²+5)/(4x²+1)

∴y(4x²+1)=(16x²+5)，

(4y-16)x²+1y-5=0,看成x的二次方程，

判别式△=0-4(4y-16)(1y-5)≥0，即：

(4y-16)(1y-5)≤0，且4y-16≠0.

解得：4＜y≤5，

故函数的值域为(4,5]。

∵y=(16x²+5)/(4x²+1)

∴y'=[32x(4x²+1)-8x(16x²+5)]/(4x²+1)²

=2x[16(4x²+1)-4(16x²+5)]/(4x²+1)²

=-2*4x/(4x²+1)².

令y'=0,则x=0，

当x＞0时，y'＜0；当x＜0时，y'＞0，

则当x=0时，函数y取到最大值，

ymax=y(0)=5.则：

ymin=lim(x→+∞)(16x²+5)/(4x²+1)

=4。

所以函数的值域为：(4,5]。