主要内容：

通过代入法、中值法、柯西不等式法、导数法等不同方法，详细介绍求代数式5a^2+16b^2在4a+6b=9条件下最小值的计算步骤。

※：代入法

∵4a+6b=9,

∴b=(9-4a)/6,代入所求代数式得：

f(a,b)=5a^2+16b^2

=5a^2+16(9-4a)^2/6^2

=109a^2/9-2*16a+36

=109/9*(a-144/109)^2+1620/109。

可知，当a=144/109时，f(a，b)有最小值，即：

f(a,b)min=1620/109。

※：中值法

设4a=9/2+k，6b=9/2-k，则：

f(a,b)

=5a^2+16b^2

=5(9/8+k/4)^2+16(3/4-k/6)^2

=109k^2/144+2*(-19k/32)+981/64

=109/144*(k-171/218)^2+1620/109。

将其看成为k的抛物线方程，开口向上，可知，当取对称轴k=171/218时，f(a，b)有最小值，即：

f(a,b）min=1620/109。

※：柯西不等式法

本处使用柯西不等式：(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥（ac+bd）^2。

对于本题，对所求代数式以及已知条件，进行变形有：

[（√5a）^2+（4b）^2][（4/√5）^2+(3/2)^2]≥(4a+6b)^2,

即：(5a^2+16b^2)[(16/5)+9/4]≥9^2,

则：5a^2+16b^2≥81/(109/20)=1620/109,

所以：f(a,b)min=1620/109。

※：导数法

根据题意，构造如下函数：

设g(a,b)=5a^2+16b^2+λ(4a+6b-9),

分别对a,b求偏导数得：

g(a,b)a=10a+4λ，

g(a,b)b=32b+6λ，

g(a,b)λ=4a+6b-9

令g(a,b)a=g(a,b)b=g(a,b)λ=0，得b=15a/32。

又因为4a+6b=9,所以a=144/109,b=135/218.

则f(a,b)min=5*(144/109)^2+16*(135/218)^2

=1620/109。