为什么矩形面积等于长乘宽？ 这背后的确是有原理的，我就问问直接嘲讽的答主们，你

为什么矩形面积等于长乘宽？ 这背后的确是有原理的，我就问问直接嘲讽的答主们，你们说得出其中的原理吗？ 长方形的面积公式并不是定义，而是根据几个基本原理的推论。 首先全等的图形面积应该都相等，而长和宽对应相等的长方形是全等的，所以面积是长和宽的函数f(a,b)。这里我们不限定长和宽的大小关系，也就有f(a,b)=f(b,a) 其次，面积是恒正的函数，不存在面积为负的情况，边长不为0时面积不为0。 第三，面积应该具有可加性，两个图形拼起来的面积是两者之和。对于长相等的长方形，将它们对齐长边，把宽边拼在一起，可以形成另一个长方形，宽是两者之和，这意味着f(a1+a2,b)=f(a1,b)+f(a2,b) 从这个式子中，可以进一步得出： 1. f关于a单调递增（作差利用恒正性） 2. 对于任意有理数q，有q f(a,b) = f(qa,b) 3. f关于a连续（即证明f(a,b)在a趋向于0时右极限为0，首先单调递减有下界所以极限一定存在，其次用第二条证明f(a,b)可以任意接近于0，因此就是0） 4. 对于任意实数u，有u f(a,b) = f(ua,b) 5. 因此，f(a,b)=af(1,b) 6. 同理，f(a,b) = bf(a,1)，因此f(a,b)=abf(1,1) 可以看出面积必须是ab的常数倍，为了使用方便可以规定f(1,1)=1，规定是其他的常数也不影响面积的根本性质。因此f(a,b) = ab。 在这其中主要运用的是面积的测度性质和欧式空间属于内积空间的性质。面积恒正可加是测度性质，面积在正交变换下保持不变是欧式空间的内积空间性质。在此基础上可以推出长方形面积的双线性特征。