“全军覆没！学霸、尖子生无一漏网！”有人说条件不够无法求解；有人说条件相互矛盾、图形不成立；有人想当然“添加”条件再求解；还有人说题目超纲了，非使用相似比或平行线段比不可！这是一道小学六年级数学题：求梯形内分割三角形面积，其三边边长、高均未知！






如图，P为梯形ABCD内一点，BC=3AD，三角形PAB、PAD和PCD的面积分别为7、5和9，求阴影三角形PBC的面积。






注：题目并未告知“DP⫽AB”，实际上“DP⫽AB”一定不成立，否则矛盾！



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常见错解示例一：想当然认为DP⫽AB。
①延长DP，与BC相交于点H，则S△BPH=S△ABP-S△ADP=2。
②S△BCP=3S△BPH=6，S△CPH=4。
错误之处：若DP⫽AB，还可求得S△CPH=S△CDH-S△PCD=14-9=5。与此前求得的S△CPH=4矛盾！



错解示例二：特殊情形法，给出“DP⫽AB”的理由，但仍然错误！
过点P作BC的平行线，与AB和CD分别相交于F和G，则P为FG上的动点，不妨假定点P满足DP⫽AB。余下同于“错解示例一”。



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提示一：代数法，解方程！适合六年级以上的孩子
①过点P作AD和BC的垂线，与AD和BC分别相交于点M和N，则PM=30/BC，PN=2S△PBC/BC，从而MN=(30+2S△PBC)/BC。
②S梯形=(AD+BC)×MN/2=2/3×BC×MN=20+4S△PBC/3。
③S梯形=21+S△PBC=20+4S△PBC/3，从而S△PBC=3。




提示二：平行线段比或相似比！适合初中生
①延长BA与CD，相交于点E。
②由AD⫽BC且BC=3AD，可得EA=AB/2，DE=CD/2。
③由“相似三角形面积比等于边长比的平方”可知S△BCE=9S△ADE，从而S梯形=8S△ADE。
④连接PE，可得S△PAE=S△PAB/2=3.5，S△PDE=S△PCD/2=4.5，故S△ADE=S△PAE+S△PDE-S△PAD=8-5=3，从而S梯形=24。
⑤因此S阴影=24-5-7-9=3。



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