“招人厌”的加法竖式：进制未知！

如图，A+AA+AA=206，其中A为自然数，求A=？

提示：①10进制情形：AA=A×10+A，故加法竖式等价于一元一次方程23A=206的自然数解问题。显然，无解！
②a进制情形：AA=A×a+A，206=2×a×a+6，故加法竖式等价于二元二次不定方程”2Aa+3A=2a²+6的自然数解问题，其中a＞6且A＜a。但直接求解不定方程难度非常大。

可行或可操作的方法：对a赋值，利用“加法”运算求解。
比如，当a=7时，A+A+A有三种可能取值：2×7+6=20、7+6=13或6，其中20和13不能被3整除、舍弃，6对应的A=2（A+A=4＜6、无法进位），故无解。
当a=9时，A+A+A有三种可能取值：2×9+6=24、9+6=15(十位不能进2位，舍弃)或6(十位不能进位、舍弃)。由3A=24求得A=8，此时三数之和的个位为3×8-2×9=6进2位，十位为2×8+2-2×9=0进2位，百位为2。因此9进制下，A=8时加法竖式成立。
当a=12时，同上只需考虑情形A+A+A=2×12+6=30即可，此时，A=10，三数之和个位为6进2位，十位为2×10+2-12=10≠0进1位，百位为1，不符合要求，舍弃。据此可归纳：随着a的增大，十位数字和无法进2位，故a＞9时无解。因此加法竖式仅在9进制下有解A=8。

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