标题：数列的通项公式
王福荣(上海市洋泾中学)
一个数列的第n项aₙ和项数n之间的函数关系，如果可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。知道了数列的通项公式，就可写出该数列的任意项；还可用来研究数列的性质。因而，掌握数列通项公式的求法，是学习数列的重点之一。
大家知道，对于等差数列和等比数列，通项公式可通过首项a，公差d，公比q，及项数n来表示，即有
等差数列的通项公式是：
aₙ=a+(n-1)d，
等比数列的通项公式是：
aₙ=aqⁿ⁻¹.
对于任何数列，如果知道了前n项之和Sₙ的表达式，由于
Sₙ=a₁+a₂+···+aₙ₋₁+aₙ，故通项公式可用该数列的前n项之和与前n-1项之和的差来表示，即
aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁
例如，已知数列{aₙ}的前n项之和为Sₙ=2n²-n，那么它的通项公式是：
aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁
=(2n²-n)-[2(n-1)²-(n-1)]
=4n-3.
在通常的情况下，往往是给出数列的前几项，要求该数列的通项公式。这时，需要仔细观察每一项的结构，找出这些项的共同之处，发现它随着项数的变化而变化的规律。
[例1]求数列：
的通项公式。
解 这数列的每一项由两个分数的积构成，其中一个因数的分母是3的乘方形式，第n项就是3ⁿ；另一个因数分母是两个连续奇数的乘积，第n项是
(2n-1)(2n+1)，故其通项公式是
[例2]求数列：
的通项公式。
解 上面这几项的共同特点是：每一项分子上的被开方数，比分母上的数大2。因而，若能找出分母随项数变化的规律，通项公式就能写出。数列前四项的分母是3，8，15，24， 它随着n的增大而增大，既非等差，又非等比，但不难发现它们与平方数4，9，16，25相差都是1，即8=3²-1，15=4²-1，24=5²-1，因而第n项的分母是(n+1)²-1；从而分子是
故通项公式是：
[例3] 求数列：8，88，888，8888，...的通项公式。
解 这个数列的特点是：各项中的数字都是8，且8的个数随着项数的增加而逐个增加。我们知道9=10-1，99=10²-1，...,
99...9(n个)=10ⁿ-1。故首先把原数列改写成各项都是由9表示的形式：
从而得其通项公式为：
有些数列，虽不具备该例的特点，但经过适当分解和组合，也能利用上面结果。
例如数列：35，3375，333775，33337775，...。这个数列各项中，3和7的个数随着项数的增加而逐个增加，且第n项是一个2n位数，即
为了能应用上例的结果，我们把它改写成：
[例4]已知a₁=1，a₂=2+3+4，a₃=5+6+7+8+9，a₄=10+11+12+13+14+15+16，...，求数列{aₙ}的通项公式。
解 这个数列的第n项是连续的2n-1个数之和，因而，如果能知道其第一个数，通项便能写出。因为1至n-1项，共有1+3+5+...+(2n-3)=(n-1)²个数，故第n项的第一个数是(n-1)²+1，所以通项是：
[例5]求数列：0,1,0,1,0,1,...的通项公式。
解 这个数列轮流地取0和1，呈周期性变化，我们不妨称它为周期数列。由于它的奇数项为0，偶数项为1，故通项为：
aₙ=½+(-1)ⁿ·½=½[1+(-1)ⁿ].
一般地，数列0,α,0,α,0,α,0,α,...
的通项为：
aₙ=½α[1+(-1)ⁿ]；
数列β,0,β,0,β,0,β,0,...的通项为：
aₙ=½β[1+(-1)ⁿ⁺¹].
利用这个结果，我们来考察周期数列：
{aₙ}: 6,7,6,7,6,7,...
这个数列的任一项可看作如下两个数列：
{bₙ}: 6,0,6,0,6,0,...、
{cₙ}: 0,7,0,7,0,7,...
对应项之和，即
{aₙ}={bₙ}+{cₙ}。而
bₙ=3[1+(-1)ⁿ⁺¹]，
cₙ=7/2[1+(-1)ⁿ],
从上面几例可以看出，除了一些特殊类型的数列(如等差数列，等比数列，周期数列)外，由于给出数列前几项的任意性，如由数列的前几项来确定通项，一般地说，无定法可循。
由数列的前几项来确定数列的通项，还需注意：
1.通项公式不是唯一的。
譬如在例2中，我们也可讲它的通项是
因为用n=1,2,3,4代入，它正好是
然而，这个通项公式不具有前几项所显示出来的规律，也较复杂。因此，实际上我们要求的通项公式，总是假定组成数列前几项的规律始终不变，而且是指很自然，或简单的通项公式。
2. 不是给出了一个数列的前几项，都可以写出其通项公式的。
譬如，所有质数，从小到大可排成一个数列：
2,3,5,7,11,13,17,19,...。
对此，我们无法写出其通项公式。
作为练习，请读者试写出下面各数列的通项公式：
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。龙年大吉
文章来源：
《数理化生园地》(上海科学技术出版社)1983第2辑
