并非虚幻的虚数

当我是一个瘦长少年还在学院里念书的时候，我曾有过一位朋友，我俩每天都在一起吃午饭．他上午11点钟的那堂课是社会学，这种课我是绝不愿意去听的．而我上午11点钟的那堂课是微积分，他对这种课也是毫无兴趣的．因此我们不得不每天在十一点钟的时候分手，再在十二点钟的时候碰头。

事情是这样发生的：他的社会学教授是一位处世态度傲慢的学者，每每在授课结束之后还喜欢作些高谈阔论，让比较热心的学生全围在他的四周，听他发表十五分钟题外的宏论，在那段时间里，学生们可以用提问的方式在他雄辩的火焰中随时添入一些木柴．

因此，我上完自己的微积分课之后，总是不得不到社会学课堂去，耐心地呆到教授的演讲结束为止。

一天，我走进那个课堂的时候，教授正在黑板上列出他对人类的分类．他把人类分成二部分：神秘主义者和现实主义者．他把数学家列入了神秘主义者这一部分里，和诗人、神学家并列在一起．有一位学生提问，请他解释为什么说数学家属于神秘主义者．

"因为，"教授回答说，"数学家们相信一些压根儿不存在的数．"

由于我不是这个班级的学生，所以我平常总是坐在角落里，静静地在无趣中受罪，可现在我却激动地站起来问道："什么数？"

-115-

教授朝我看了一眼，说："负1的平方根，它是根本不存在的，所以数学家管它叫虚数，可他们又相信这种数以某种神秘的方式存在着．"

"虚数根本没有什么神秘的，"我生气地说，"负1的平方根就跟其他任何的数完全一样的现实．"

教授微笑了一下，他觉得现在有一个活靶子可以供他卖弄他卓越的才智了（自从我自己听他的课以来，就确切地知道他当时是怎么感觉的）．他得意洋洋地说："现在我们这儿有一位年青的数学家，他想证明负1的平方根的现实性，好，来吧，小伙子，请给我拿出负1平方根枝粉笔来！"

我的脸发红了，"嗯，那，等一下……"

"那就得了．"他挥了挥手说，他准以为，这场争论已经干净、利落地结束了．

但我提高了嗓门说："我可以做得到的，可以做得到的，我可以给你拿出负1平方根枝粉笔来的，不过你先得给我拿出半枝粉笔来．"

教授又微笑了一下，说："很好．"他把一枝新粉笔折成两半，把其中的一半交给我说："现在，你总没有什么话可以说了吧．"

"噢，别着急，"我说，"你还没有做到这一点呢，现在你拿给我看的是一枝粉笔而不是半枝粉笔．"我把那段粉笔举起来让大家看，"你们大家说这是不是一枝粉笔？它当然不是两枝或三枝粉笔．"

现在教授不再微笑了，"拿着！一枝粉笔是指一枝正常长度的粉笔，而你手里的只有正常长度一半的粉笔．"

我说："可现在你突然对我提出了一条任意解释的定义，就算我接受你这条定义，那你是不是打算坚持说，这确实是半

-116-

枝而不是0.48枝或者0.62枝粉笔呢？当你对一半的意义还弄不大清楚的时候，又怎么能认为你自己确实有资格来谈论负1平方根的问题呢？"

现在，那位教授完全丧失了他泰然自若的态度，对我最后的驳斥，他显然是无法回答的，他只得嚷道："把这个混蛋撵走！"我大笑着走出了课堂．此后，我就在走道里等待我的朋友．

从那以来，已经过去了二十个年头，我觉得，现在应该来结束那场争论…..

让我们从一个简单的代数方程 x +3=5说起．这个表达式中 x 表示某个数，若以这个数来代替 x ，就可以使方程的两边相等．在上述这个方程中， x 必须等于2，因为2+3=5,这样我们就"解出了 x ".

有趣的是，这个解是唯一的解．除了2以外，没有一个数能够在加上3之后得到5.

对这类问题来说，任何一个方程都是这样的，这种方程叫做"线性方程"（因为它在几何学上能以一条直线表示）或"一次多项式方程"．没有一个一次多项式方程，其 x 可以拥有多于一个的解.

当然，还有其他一些方程是可以拥有一个以上解的．这里就是一个例子：x²-5x+6=0，这里 x²（读作" x 平方"或"把 x 平方"）表示 x 乘 x ．这种方程称为"二次方程","二次"(quardratic)一词来自拉丁语，意即"平方"( square )，因为它包含着 x 的平方．它也可以称为"二次多项式方程"，因为在x²中有"2"这个小字码．至于 x 本身，则可写作 x¹，只是"1"经常被认为可以理所当然地省略不写，这就是为什么说 x+3=5

-117-

是一次方程．

如果以方程x²-5x+6=0为例，取2代 x ，则 x²为4,5x为10，故方程变为4-10+6=0，该式成立，故2是方程的一个解．

但是，如果取3代 x ，则 x 为9，而5x为15，这样方程就变为9-15+6=0，它也是成立的，故3是该方程的第二个解．

现在还没有发现任何一个二次方程能拥有多于二个的解，但三次多项式方程又怎样呢？三次多项式方程包含着 x³(读作" x 立方"或"把 x 立方")，故这类方程也称为"立方方程"．符号 x³ 表示 x 乘 x 乘 x .

方程x³-6x²+11x-6=0有三个解，因为可以令 x 等于1、2或3，代入这个方程后，每次都能够使等式成立．然而迄今为止，尚未发现任何三次方程有多于三个解的．

用同样的方法可以构成四次多项式方程，它具有四个解，但不会有更多的解；五次多项式方程有五个解，也不会有更多的解；余类推．这样，可以说，一个 n 次多项式方程就可以具有 n 个解，但也永远不会有超过 n 个的解．

数学家们要求的是比这更美的东西，直到1800年左右才找到．当时，德国数学家卡尔．弗列德里希·高斯证明了每个 n 次方程都有恰好 n 个解，既不多，也不少．

然而，为了证实这条基本定理的正确性，我们关于代数方程解的构成概念必须极大地加以扩大．

起初，人类所接受的只有"自然数":1、2、3等等．对于计数客体的个数来说，这是合适的．因为客体一般仅被认为是些单位．你可以有2个孩子，5条牛，或者8个水壶；说你

-118-

图一

这就是说，这块木板的长度对标准码尺的长度之比为21比8.然而，希腊人发现，有一些确定的数是不能表示为整数之比的．最早发现的这样的数是2的平方根，通常表示为√2.这是这样的一个数，它自乘之后就能得到2，这样的数确是存在的，但它却无法表示为一个比值，因此它是一个"无理数".

从前，对于数的概念仅扩展到此为止．这样，希腊人是不接受比零更小的数的．怎么能比"无"更小呢？因而，在他们看来，方程 x+5=3是没有解的．怎么能把5加到一个数上，得出3这个结果呢？即使把5加到最小的数（即零）上去，所得的和也是5，如果把5加到别的任何数（它总是大于零的）上去的话，所得到的和总是大于5的．

第一位打破这条戒律并对小于零的数作出系统使用的是意大利人基洛拉莫·卡尔达诺（ Girolamo Cardano )．总之，存在着可以比无更小的事物，债务就是一件比无更小的事物．

如果你在世界上拥有的全部财产是两元钱的债务，那你就比无少了两元钱，如果后来有人给了你五元钱，结果你自己就有了三元钱（假定你是一个肯还债的老实人），因此，在

-119-