变量数学的标志——函数函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志。在高等数学里，专门研究函数的领域叫做数学分析，它是研究现代科学技术必不可少的工具。
那么，什么是函数呢？我们先看下列例子，圆周长L与圆半径r之间有下列关系：
L=2πr
在这个关系中有一个常量2π和两个变量L和r，并且对r的每一个值，L都有唯一的值和它对应。这时，我们称这样的关系为函数关系，称r为自变量，并称L是r的函数。
在研究某一问题的过程中，保持一定数值的量，叫做常量。可以取不同数值的量，叫做变量。
初中数学的函数定义：在某变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么说x是自变量，y是x的函数。
函数有以下三种常用的表示方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法。
用数学式子(即解析式)表示两个变量间的函数关系的方法叫做解析法。
一次函数是比较简单的初等函数。y=kx+b(k≠0，k，b都是常数)叫做x的一次函数。
说明：正比例函数y=kx是一次函数y=kx+b的特例。
我坚信数学来源于生活，所以函数就在我们身边，可以用生活中鲜活的各种场景来演绎，例如一位同学在商场买鞋子时发现了函数。
鞋子的尺码火热的夏天来了，红星中学的王燕同学计划暑假外出旅游，于是准备买一双36码的旅游鞋。
她来到了人民商场，热情的售货员拿出一双又一双让王燕挑选，却找不到36码的鞋。
原来这批鞋子都是用“厘米”表示尺寸大小的。售货员明白了其中原因，便拿出来一张《鞋子的尺码与厘米对照表》让王燕查找：
码：34，35，36，37，38，39，40，41，42，43，44
厘米：22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26，26.5，27
对照表只有两排，由A和B两个数列组成，第一个数列名称是码，第二个数列名称是厘米。
王燕于是买了一双23厘米(即36码)的旅游鞋，完成了预定的任务。
王燕感到这张表数字多，不便于记忆。能不能把鞋子的规格x(码)与鞋子的长度y(厘米)用一个公式表达出来呢？
同学们已经学过一次函数了，帮王燕想一想，这个函数的解析式是什么呢？
我们分析对照表的数据，不难发现，尺码每增加1，厘米就增加0.5，所以当码数从34增加到x码时，对应的厘米数从22增加到y厘米，这时规格增加了x-34码，长度增加了y-22厘米，所以
y-22=½(x-34)
化简可得
y=½x+5
这就是王燕要寻找的公式。
一次函数的图像与性质一次函数的图象
王燕买鞋遇到的函数因为可以写成y=kx+b(h，b是常数，k≠0)的形式，所以y叫做x的一次函数。
一次函数的图象是经过点(0，b)且平行于直线y=kx的一条直线。
因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图像，只需先描出两点，再连成直线即可。
王燕买鞋的函数图像只需建立平面直角坐标系，在对照表中选取两组数据(取两点)，可以任意选，比如(34，22)和(38，24)，再描点连直线，就作出了函数的图像。
美国数学家谈一次函数我有两个女儿，大女儿叫利亚，小女儿叫乔。几年前，我的小女儿乔从自己和姐姐身上得到了一个重大发现。乔对我说：“爸爸，我发现我和姐姐的年龄之间总是隔着一个数字。现在我6岁，姐姐8岁，我们的年龄之间隔着数字2。过几年，等我长大了，比如说当我20岁、姐姐22岁的时候，我们的年龄之间仍然会隔着数字2！”乔的这个发现属于代数的范畴，（虽然别人可能不会承认这一点，但是作为一名骄傲的父亲，我一定要坚持这一说法！）因为她发现了两个变量之间的一种关系：她的年龄x和她姐姐的年龄y，这两个变量虽然一直在变，但它们之间的关系却始终不变。不管我的两个女儿如何成长，利亚永远会比乔大两岁：y=x＋2。
代数就是这样一种语言，它用最自然的方法描述变量之间的关系。想要流利地掌握这种语言并不容易，我们需要一定的练习才能熟练地使用它。
为什么呢？因为在代数这门语言中，存在着一些陷阱，法语称这些陷阱为“faux amis”，意思是“假的朋友”。所谓“假的朋友”，就是指两种语言中（此处的两种语言是日常用语和代数语言）的两个词语，听起来是相关联的，好像是一个意思，实际上翻译过来却是两个截然不同的意思。
比如，一条走廊的长度是y码，如果换算成英尺则是f英尺。那么，你能用公式表达出y和f的关系吗？我有一位朋友名叫格兰特·威金斯，他是一位教育咨询家。威金斯曾多次用这道题目考过一些学生和老师。据威金斯说，一半以上的学生都会给出错误的答案。就算这些学生刚刚顺利地通过了代数考试，也还是会在这道题上“栽跟头”。怎么样，你要不要试一试？如果你觉得答案是y=3f，那么恭喜你，你也加入了这道题的“答错俱乐部”！
这么简单的题目，怎么会出错呢？y=3f简直就是照“1码等于3英尺”这句话直译过来的。但是，只要你试着代入几个数字，你就会发现这个公式写反了。比如说，走廊的长度是10码，人人都知道10码等于30英尺。但是，当你把y=10、f=30代入上述公式的时候，你就会发现这个公式根本不对。正确的公式应该是f=3y。在这个公式里，3的意思是“每码为3英尺”。当你用码数y乘以每码3英尺，“y码”的码和“每码3英尺”的“码”相互消去，得数的单位就变成了英尺，这才是我们想要的正确答案。在面对这种问题的时候，坚持带着计量单位进行运算，并确保计量单位能够互相消去，最后得到正确的得数，就可以避免上述错误。
本节内容摘自《x的奇幻之旅》，作者是美国数学教授史蒂夫·斯托加茨。
谈谈英制单位单位换算：1码=0.9144米。
这是怎么算出来的呢？
码yd，英寸in，英尺fr等都是英制长度单位。米m，分米dm，厘米cm等都是公制长度单位。
1码yd等于3英尺，一英尺等于12英寸，所以一码等于36英寸in。
因为一英寸=2.54厘米，所以
一码=36×2.54=91.44厘米=0.9144米。
1yd=36in×2.54cm/in
=0.9144m
足球比赛罚点球又称为12码球，那么罚球点距离球门的距离12码是多少米呢？
12×0.9144=10.9728米。约等于11米。
我国的物理教科书中，自由落体运动的位移公式：
h=½gt²，g是重力加速度，取9.8m/s²
在外国人的书中，这个公式是：
d=16t²
公式的含义是自由落体在t秒内下落的距离d(英尺数)是秒数平方的16倍。(g=32英尺/秒²)
一英尺=12×2.54cm=30.48cm
=0.3048m
32×0.3048=9.7536m
一次函数的性质观察函数图象，可以看出一次函数y=kx+b有下列性质：
(1)任意一次函数的图像都是一条直线，特别正比例函数的图像是过原点的一条直线。并且当k相等，而b不相等时，所得的直线互相平行。
(2)当k>0时，函数图像是从左到右向上方倾斜的直线，y随x的增大而增大，即单调递增；
(3)当k<0时，函数图像是从左到右向下方倾斜的直线， y随x的增大而减小，即单调递减。
(4)如果平面上一点P(a，b)在一次函数y=kx+b的图像上，那么当x=a时，相应的函数值y=b，即{x=a；y=b}是二元一次方程y-kx-b=0的一组解。如果P(a，b)同时在两个一次函数y=k₁x+b₁和y=k₂x+b₂的图像上，那么{x=a；y=b}就是二元一次方程组{y=k₁x+b₁； y=k₂x+b₂}的一组解。
从这条性质可以看出，一次函数y=kx+b可看成关于x，y的二元一次方程-kx+y-b=0；
反之，二元一次方程ax+by+c=0，当b≠0时可看成一次函数y=-(a/b)x-c/b。
这样，就把一次函数、直线、二元一次方程三者联系起来了：一方面，我们可以用函数的方法处理方程问题，另一方面也可以用方程的观点讨论函数；既可以用平面直角坐标系中的直线来表示一次函数或二元一次方程，又可以用一次函数或二元一次方程来研究平面内的直线和相互关系。
现在问题来了，我们知道任何一次函数的图像都是平面内的一条直线，那么反过来，是不是平面内的每一条直线都一定是一次函数的图象呢？
为了回答这个问题，我们需要分类讨论，分三种情形：
(1)当直线垂直x轴时，它与x轴的交点的横坐标为a，这条直线任意一点的坐标都可表示成(a，y)，这里y是任意实数。这就是说，当x=a时，y可取任意实数，这与函数的定义相矛盾。因为函数的定义说，对x的每一个值，y只有唯一值与之对应。所以，当直线垂直x轴时，它不是任何函数的图像，这时，我们只说这条直线是方程x=a的图像。
(2)当直线垂直y轴时，它与y轴交点的纵坐标为b，那么直线上任意一点的坐标可表示成(x，b)，这里x是任意实数，即对任意实数x，都有唯一的y=b与之对应，根据函数定义，这种对应是一个函数关系，就记为y=b，我们称这个函数是常数函数，它的图像是垂直y轴的一条直线。
(3)当直线既不垂直x轴，也不垂直y轴时，它必是某个一次函数的图像。这时，只要知道直线上某两点的坐标：(p，q)，(m，n)(p≠m且q≠n)，将它们代入一次函数y=kx+b，使得到关于k，b的二元一次方程组{q=pk+b；n=mk+b}解得k，b的值，就得到一次函数的解析式。
典型例题【例1】已知直线l上两点的坐标为(1，3)，(2，1)。求以l为图象的一次函数。
解 设所求一次函数为y=kx+b，则
{1·k+b=3；2·k+b=1}
解方程组，得{k=-2；b=5}，
故所求一次函数为y=-2x+5。
上述求函数解析式的方法叫做待定系数法，这是一种重要的数学方法，今后，我们常常会用到它。
现在我们用待定系数法来求解王燕买鞋的函数解析式。
设所求关系式为y=kx+b，由对照表可知x=34时，y=22；x=36时，y=23，所以
{34k+b=22；36k+b=23}，解得k=½，b=5。故所求函数解析式是y=½x+5，经表格其它数据检验，知所求函数解析式是正确的。
一个重要的记号初中阶段，我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数。它们分别可用记号y=kx+b(k，b为常数，k≠0)
y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
y=k/x(k为常数，k≠0)来表示。那么，一般情况下y是x的函数又怎样表示呢？我们用记号y=f(x)
表示y是x的函数。这里，f是函数的英文单词function的第一个字母。虽然这个记号要到高中阶段才在课本中正式出现，但我们如果能及早学会使用它，将对我们书写和解题带来方便。
正如二次函数y=ax²+bx+c也可以表示成y=a₁x²+b₁x+c₁或y=px²+qx+r一样，一般y是x的函数也可表示成
y=f₁(x)，y=g(x)，y=φ(x)
等等，特别在同时讨论几个不同的一般函数时，自然需要几个不同的记号。
此外，我们把函数y=f(x)在x=a处的值记为f(a)。
由于使用了函数及函数值记号，使题目和解题过程的表达都非常简洁，清晰易懂。
【例2】已知f(x)=-2x+3且a<b。证明：f(a)>f(b)。
证明：∵f(a)-f(b)=(-2a+3)-(-2b+3)
=-2(a-b)>0
∴ f(a)>f(b)。
本题结论若用文字叙述则是：“对于一次函数y=-2x+3而言，自变量取较小的值a时的函数值，要比自变量取较大的值b时的函数值大”。显然，这样用文字来叙述，远不如数学语言的简洁和清晰。
考查一次函数的中考题最后，我们用两道中考题结束本文。
(填空题) 若直线y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为(m，8)，则a+b=______。
(2000·天津市中考题)
解 把{x=m；y=8}代入y=-x+a及y=x+b中，∴8=-m+a；8=m+b
两式相加得
a+b=16，故应填16。
(选择题) 已知一次函数y=kx-k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过( )。
A.第一、二、三象限
B.第一、三、四象限
C.第一、二、四象限
D.第二、三、四象限
(2000·江苏省苏州市中考题)
解 ∵y随x的增大而增大，
∴ k>0
∴ -k<0
∴ 一次函数y=kx-k的图象经过第一、三、四象限。
故应选B。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
