本书封面

数学思维只是我们使⽤语⾔的⼀种特殊⽅式。我们⼈类⽣来就有学会语⾔的天赋，⽽这种语⾔天赋恰恰是我们学习数学的基础。我们⽤⼀道数学测试题，证明在不同的表述⽅式下，我们理解起来的难度也会有不同。数学问题和⽇常⽣活中的场景在逻辑上是⼀样的，之所以我们会觉得数学更难，只是因

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为数学更为抽象。

知识内容

1.⼀道数学题，两种表达⽅式

我先给你出⼀道思考题。这是⼀道典型的数学思考题。假设在你的⾯前有⼀张桌⼦，桌⼦上放着四张卡⽚，每个卡⽚有两⾯，⼀⾯印的是数字，另外⼀⾯印的是字母。你能够看到各个卡⽚朝上的⼀⾯。四张卡⽚，朝上的⼀⾯分别是四个符号：A，K，4和7。我再告诉你，这些卡⽚是有规律的。如果卡⽚的⼀⾯印的是元⾳字母，那么，另⼀⾯必须印的是偶数。我说的到底对不对呢？你得⾃⼰去测试。那么，问题来了。你必须要翻哪⼏张卡⽚，才能够保证这四张卡⽚都遵守我说的这个规则？

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⼤部分⼈都会先翻第⼀张，就是朝上的⼀⾯印着A的那张卡⽚。如果你把这张卡⽚翻过去，看到后⾯不是偶数，那么，我说的这个规则就是不成⽴的。⼤部分⼈也不会去翻那张朝上的⼀⾯印着K的卡⽚，因为不管它的反⾯印的是奇数还是偶数，跟我们的规律都没有关系。在剩下两张卡⽚中，有很多⼈想去翻那张朝上⼀⾯印着4的卡⽚，因为他们想看看反⾯印的是不是元⾳。不过，你要再仔细想想：如果4的反⾯是元⾳，那么，我说的规则是对的，可是，如果4的反⾯是辅⾳，你能判断出来我说的规则就是错的吗？不能的，因为我们的规则是元⾳的反⾯是偶数，并没有说偶数的反⾯⼀定是元⾳。这就是这道数学测试题的“陷阱”。很少⼈去翻那张印着7的卡⽚，但这张卡⽚却是最关键的。如果你翻开这张卡⽚，发现反⾯印的是元⾳字母，你

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就能笃定知道，我说的规则是错的。因此，这道数学测试题的正确答案是：你必须翻看印着A和7的那两张卡⽚。

这道题你答对了吗？没有答对也别灰⼼。这是认知⼼理学界赫赫有名的沃森测试，它是英国⼼理学家⽪特·沃森提出来的。沃森发现，很多被测试者都会答错。

即使答错了，也跟智商⾼低没有关系。不信，同样是这道题，我再换⼀种表述⽅式，你再试试看会不会答错。

假设你是个警察，负责维护酒吧⼀条街的治安。假设我们规定，年龄不超过18岁的⼈是不能喝酒的。你⾛进⼀个酒吧，发现四个年轻⼈围在⼀张桌⼦前聊得很嗨。他们的桌⼦上放着各种饮料。有啤酒，有可乐，这你⼀

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看就知道。可是，还有⼀些透明的饮料，这到底是七喜，还是伏特加呢？你要求这四个年轻⼈把⾝份证都拿出来，放在桌⼦上。年轻⼈嘛，都有⼀些逆反⼼理。有两个捣蛋⿁故意把⾝份证倒扣在桌⼦上，想捉弄⼀下你。还有两个⽐较听话，乖乖地把⾝份证正⾯朝上，放在桌⼦上。

你看到⾝份证朝下的那两个年轻⼈中，有⼀个点了啤酒，另⼀个点的是可乐。你还看到⾝份证朝上的两个年轻⼈中，有⼀个超过了18岁，还有⼀个没有到18岁。那么，问题来了，你该查谁的⾝份证，或者是谁的饮料，才能够确保没有⼈触犯法律？

答案很简单。你得查那个点了啤酒的家伙的⾝份证，看他是不是年满18岁了。那个点了可乐的⼈，你根本就不⽤管他。剩下两个喝

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透明饮料的年轻⼈，你需要去检查⼀下那个未年满18岁的孩⼦，闻闻他到底喝的是七喜还是烈酒。

跟刚刚的测试题相⽐，这道题是不是容易多了？

其实，这两个问题是⼀模⼀样的。我说元⾳字母的时候，你可以把它想象成第⼆个题⽬中的喝酒，那么，辅⾳字母就是喝饮料。我说偶数的时候，你可以把它想象成第⼆个题⽬中的法定的饮酒年龄，那么，奇数就是未到法定的饮酒年龄。第⼀道题⾥提到的规律：如果卡⽚的⼀⾯印的是元⾳字母，那么，另⼀⾯必须印的是偶数，其实，就相当于第⼆道题⾥的规则：如果想要喝酒，必须达到法定的年龄。

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为什么同样逻辑的两道题，第⼀道看起来更难，第⼆道看起来就简单很多呢？其实，我们每个⼈都有数学基因的，只不过我们不熟悉数学的表达⽅式⽽已。今天，我给你推荐的书是斯坦福⼤学数学家基思·德夫林写的《数学犹聊天》，这本书的英⽂原名就叫：The Math Gene。⼈都会说话吧？会说话就会数学。⼈都爱⼋卦吧？爱⼋卦就应该爱数学。

2.数学基因从何⽽来？

为什么我们说数学是⼀种本能呢？

其实，不仅仅是⼈，动物也有数学的本能。⽣物学家做过⼀个实验，他们⽤磁带录下雄狮咆哮的声⾳，然后放给坦桑尼亚国家公园⾥的⼀群雌狮听。如果从雄狮的吼叫声⾳能

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听出来，雄狮的数量超过雌狮的数量，她们就会后退；但是雌狮数量较多的时候，她们就更有信⼼，昂然挺⽴，准备抗击⼊侵者。雌狮⼦其实运⽤了两种数学技能：⾸先，她们要听出来有多少头雄狮在吼叫，其次，她们要数出来⾃⼰这⼀群雌狮的数量，然后加以⽐较。

婴⼉很⼩的时候就有数学能⼒。瑞⼠著名哲学家⽪亚杰热衷于研究⼉童⼼理学，他说，根据他的观察，两岁多的孩⼦是没有数的意识的。⽪亚杰是错的，他⼤⼤低估了婴⼉的数学能⼒。⼼理学家后来做了⼀个实验。给两岁的孩⼦两排M&M巧克⼒⾖，⼀排有六颗，⼀排有四颗。⼼理学家还想办法把这两排糖放得不⼀样，⽐如有时候放得稀疏，有时候放得稠密，或者放的形状不⼀样，有时

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候排成直线，有时候歪歪扭扭，但你不管怎么排，孩⼦们总是会拿⾛有六颗巧克⼒糖的那⼀排。他们知道巧克⼒糖的多少，⽽且知道数字的多少和摆放的⽅式是没有关系的。

德夫林讲到，如果从进化的⾓度来看，我们在⼤脑中从事数学运算的功能区，实际上也是我们使⽤语⾔的那个功能区。我们在使⽤语⾔的时候，⼤脑的活动主要发⽣在额叶，所以额叶是⼤脑的语⾔中枢。德夫林有⼀种很独特的观点，他讲到，⼈类语⾔的发展，并不单纯是为了相互之间沟通信息⽽演化出来的，更为重要的是，⼈类⾯对的⽣存环境越来越复杂，所以必须发展出“离线思考”的能⼒。所谓的“离线思考”，就是以抽象的⽅式进⾏“如果……该怎么办”的推理能⼒。正是对这种“离线思考”能⼒的追求，推动了语

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⾔和数学思维能⼒的出现。这种“离线思考”是如何推动语⾔的演进呢？我们在下⼀个学习单元，也就是“表达能⼒”会讲到。现在，你需要了解的是，数学和语⾔是同宗同源的，都是为了探索某种模式，⽽且是为了说给别⼈听，并理解别⼈是什么意思。你天⽣就有的语⾔能⼒，正是你掌握数学思维的基础。

语⾔和数学思维之间的关系，中国⼈应该有更真切的体会。很多数学平平的东⽅孩⼦，到了美国，会被别的孩⼦惊叹为数学天才，其实不是因为中国孩⼦的智商⾼，⽽是因为中⽂和英⽂对数字的表达⽅式不⼀样。中⽂表达数字远⽐英⽂简洁。中⽂说11就是11，12就是12，你⼀听就知道是哪个数，英语⾥11是eleven，12是twelve，⿁才知道说的是

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啥。⽤中⽂背诵九九乘法表，⽐⽤英⽂去背诵，容易得多。这个⼩⼩的例⼦也说明，表述⽅式不同，会导致理解的难度不同。

2009-3-31 13:44:17 来源：易文网 作者：基思·德夫林

“鹰”已着陆

尽管存在着天电干扰，从正在月球表面上空的宇宙飞船“鹰”上传来的声音仍然可以听得清清楚楚。来自美国得克萨斯州休斯顿市约翰逊宇航中心的另一个声音可以听得更清楚一些，当然这毫不奇怪。双方的语句都很简短、有效、实在，丝毫不带感情色彩。

当阿姆斯特朗（Neil Armstrong）与奥尔德林（Buzz Aldrin）登上月球时，我还是个年方22岁的研究生。时至今日，30年过去了，每当我重温这一降落的最后几分钟的记录时，我都会感到深深的激动，就像是阿姆斯特朗正指挥着登月舱（乘务员们命名它为“鹰”），到达人类第一次在另一个星球上驻足的地点。

为期十年的把人送上月球（还得将他活着送回来）的努力至此登峰造极，然而实际着陆并不意味着取得了大大超越以前各次阿波罗计划任务的重大技术进步。用阿姆斯特朗自己的话来说，当他迈出历史性的一步，首次踏上月球表面时，阿波罗11号的登月，“对（一个）人来说，只是一小步。”但事件的象征意义之大不言而喻。正如阿姆斯特朗接着所说的：“是人类迈出的一大步。”尽管它经常被称为科学及工程学的一项重大成就（事实的确如此），我却总是感到，阿波罗11号完成的使命更像是人类精神的胜利，也是地球表面上唯有人类才能掌握的两大心智能力的胜利。这两者便是：数学与语言。

登月壮举需要严重仰仗数学，它是一切科学与工程学的基础。登月任务的每一个方面都要不厌其详地计算到细枝末节：飞行到月球的每一阶段需要携带多少燃料；火箭运行时选择什么路径，以免在飞行过程中因修正航线而浪费燃料；着陆时需要多少燃料；离开月球再次启动时又要用去多少燃料；每台发动机需要维持运转多久；需要多少氧气才能使乘员们存活。在最终降落阶段，“鹰”与地面控制中心的对话几乎全是数学语言。几乎不容许有误差存在：当阿姆斯特朗操纵着“鹰”安全着陆时，剩下的燃料只够使用10秒钟。

由此看来，登月必须依靠数学。但是，语言的作用何在？为什么我要说，登月成功也是语言的胜利？这是因为阿波罗的登月任务是一项规模空前的合作计划，需要成千上万人的通力协作。尽管只有两人在月球上第一次迈出了历史性的脚步，但此项计划所涉及的人员数以千计，遍布于整个北美洲。如果把各跟踪站所配备的人员也算在内的话，还应包括地球上的其他一些地方。把整个团队串连在一起的无形线束便是语言，从而得以协调大家的行动，凝成一股力量。

当然，并不需要登月来让我们想起语言与数学是强有力的工具。这两者早已产生了无数其他成果，不仅改变了人类，而且改变了我们的行星。

本书的主旨之一是想让你们确信：（人类独有的）语言与数学能力是何等的非凡与强大。让我再次引用阿姆斯特朗的话。当登月舱从指令舱中分离出来时（后者将在漫步月球的过程中留在月球的轨道上），阿姆斯特朗宣称：“鹰有了翅膀。”正是语言与数学的技能赐予人类一对展天之翼，从而能高高在上地傲视其他生物。

我的另一个意图是想论证上述两种技能不是分离的，两者可能是由人类大脑的同一部分缔造出来的。

顺着这条思路，我将探索并回答以下问题：确切地说，数学究竟是什么？语言究竟是什么？它们是怎样形成的？我还将研讨人类的第三种显然具备的技能：规划能力，它伴随着复杂的计划，预先的计算，以及视当时的情况发展而作出的各种后续的多元选择。显然，这种技能同我们使用语言与研究数学的能力有着紧密联系。在完成阿波罗登月的各项任务中，它同样起着非常重要的作用，每一个细节都预先经过仔细计算，每一种可能发生的意外事件都得仔细考虑。

例如，主飞行计划要求飞船上的计算机操纵“鹰”在起飞前数月就定好的地点着陆。然而，具体实施时，登月的乘员们看到选定的地点崎岖不平，且充斥着砾石。当他们向月球表面降落时，阿姆斯特朗果断地把计算机搁在一边，让飞行器人工着陆。人工着陆的可能性事先就被考虑到了，而且阿波罗号上的乘员们已经进行了这种训练。

最后提到的这种人类能力——设想未来将可能有几种不同的进程，并为其设计相应的应对方案——本质上是另外两种能力（数学与语言）的起源。因而可以证明，在所有能力中，它是最为重要的。

数学基因？

在正文开始之前，我需要讲清楚一点：在人类的DNA中，不存在赋予我们数学能力的一段特定的序列，“数学基因”不是从这个意义上来说的。当然，的确有一些基因可以影响我们搞数学的能力。但书名中的“数学基因”，不过是简单地采用了一种普通的比喻手法。粗略地说，我所谓的“数学基因”，意思是指“一种内在的数学思维技能”，就像某些作者有时会用“语言基因”来泛指我们所固有的获取与使用语言的技能。当然，这两种技能都是由遗传决定的（至少部分如此），我们的其他一切技能也都几乎如此。不过，谈到一个关于数学的“基因”时，那纯粹是个比喻而已，犹如我们读到“一个关于××的基因”时一样。

我提出的你拥有数学基因的论点（即你拥有内在的搞数学的技能），其实指的就是：你天赋的语言素质恰好就是你搞数学所需要的能力。目前，很可能你能够将母语运用自如，但对自己的数学能力却缺乏自信。事实上，正如数以百万计的你的同时代人一样，你可能患上了“数学恐惧症”。因此，为了证明我的看法，我将解释清楚何以许多人好像不会使用那些我断定他们应该拥有的基本能力。我所给出的部分解释是，绝大多数人并不真正了解什么是数学。所以我也必须解释一下数学家（像我这样的人）眼中的“数学”是什么。它不仅仅是数字与算术。一旦你真正了解了数学究竟是什么，并懂得了我们的大脑怎样创造出语言，你就会对“以数学方式思考只不过是使用我们的语言能力的一种特殊方式”这种看法毫不奇怪了。

2022/3/7 15:11:00 　 来源：易文网

“数学桥”丛书以“传播数学文化，展示数学魅力，培育数学思维，陶冶数学情怀”为宗旨，讲述数学为人类带来的重大影响，揭示日常生活中的数学奥秘，激发读者的科学创新精神。

“数学桥”丛书第一辑共9册：《数学奇观》《数学犹聊天》《神奇的圆》《魔法数学》《人人都来掷骰子》《渴望不可能》《数字密码》《2的平方根》《数学桥》。

《数学犹聊天——人人都有数学基因》

[美]基思·德夫林 著

谈祥柏、谈欣 译

书号：ISBN 978-7-5428-7712-3/O·1151

定价：75.00元

2022年3月出版

上海科技教育出版社

内容简介：

如果人们生来就有“数的本能”，如同他们具有“语言天赋”一样，那为什么不是人人都能搞数学呢？数学家、科普作家基思·德夫林在《数学犹聊天——人人都有数学基因》一书中，通过明确而有说服力的分析，提出一个新颖的观点：数学能力和语言能力有相通之处，数学对象之间关系的推理法则与社会人文关系的推理法则在本质上并无二致。通过把数学牢牢植根于人文氛围之中，德夫林对如何理解数学、如何提高数学能力、为什么数学家认为数学不难等问题做出了全面解释。对任何迷恋数学、憎恨数学或者被数学吓倒的人而言，本书都值得一读。

作者简介：

基思·德夫林（Keith Devlin），斯坦福大学语言与信息研究中心研究员、数学系教授，美国科学院数学科学教育委员会委员，世界经济论坛成员，美国科学促进会成员，美国全国公共电台数学普及节目主持人。著有《数字化的生命》（Life by the Numbers）、《数学模式的科学》（Mathematics：The Science of Patterns）与《千年难题》（The Millennium Problems）等。

以下内容摘自《数学犹聊天——人人都有数学基因》

中国人的优势

每隔几年,报纸上就会报道:美国小学生又一次在国际数学能力对比中得分很低。尽管这种新闻从不缺少老一套的观点,但从不同民族、不同文化之间的对照中确实很难得出什么可靠的结论。许多因素牵扯在内,即使那真的是个问题,简单化的解答也不大可能收到实效。教育与学习不是简单的事,两者之间的关系也非常错综复杂。

在这些测试中,中国与日本的孩子一向做得比美国孩子好。他们也超越了表现同美国孩子不相上下的大部分西欧国家的孩子。鉴于美国与西欧在文化上的相似性,以及它们与中国、日本的文化差异,人们自然有理由推测,是文化方面的差异导致了孩子们数学能力的高低。教育体制方面的不同肯定也是原因之一,然而语言因素也举足轻重。对中国和日本孩子来说,做算术运算,尤其是背熟九九乘法表,实在简单透顶,因为他们的数词非常简短——通常只是单个的短音节,例如中国的四(si)或七(qi)即可代表4或7。

在汉语和日语中,构建数词的语法规则也比英语或其他欧洲语言来得简单。例如,在汉语里头,十以上的数词简单之至:11叫十一,12是十二,13是十三,如此等等,直到用二十表示20,二十一代表21,二十二代表22,以此类推。不妨想一想,英语中表示这些数词有多么复杂。(在法语和德语中,情况更加糟糕,例如法国人用quatre-vingt-dix-sept代表97,德国人用vierundfünfzig代表54。)米勒(Kevin Miller)所作的一项最新研究表明,语言方面的差异导致说英语的孩子在学习计数方面落后中国孩子足足有一年之多。中国孩子在4岁时一般可以计数到40。同样岁数的美国孩子仅能计数到15,他们要再花上一年工夫才能数到40。我们怎么知道这种差异的根源在语言? 道理很简单。两个国家的孩子在1到12的计数能力方面看不出什么年龄差距。当美国孩子遇到构建数词的各种特殊规则时,差距开始出现了。与此同时,中国孩子继续运用与1至12相同的构词规则。(美国孩子也常常继续运用相同规则,但他们发现,如果用twenty-ten表示30,twenty-eleven代表31,那是根本不行的。)

除了易于学习外,汉语中的数词体系也使初等算术运算更为简便易行,因为其语言规则严格地遵循阿拉伯数字的十进位结构。中国小学生从语言结构中一望而知二十五(即25)中有两个10,一个5。而一个美国小学生则必须死死记住“twenty”表示两个10,从而“twenty-five”代表的是两个10与一个5。

我们经常迫不得已地运用自己的语言能力帮助我们去学习一些重要的数学规律(诸如九九乘法表之类)并进行算术运算，但当我们将一种为了某种用途而发展出来的工具改用于其他用途时,结果当然不会尽如人意。

目录

前言 鹰的翅膀

第一章 数学头脑

第二章 由数开头

第三章 人人都计数

第四章 “数学”这玩意儿究竟是什么

第五章 数学家的大脑与众不同吗

第六章 生来会说话

第七章 逐渐成长，学会了说话的大脑

第八章 出乎我们意料之外

第九章 魔鬼在哪里藏身，数学家就在哪里工作

第十章 未选之路

尾声 如何宣传肥皂剧

附录 日常语言中的潜在结构

参考文献

书摘插图

伟大的19世纪德国数学家克罗内克（Leopold Kroneeker，1823--1891）曾经写道：“上帝创造了整数，其余一切都是人类的作品。”(整数包括正整数、负整数和零。)他的观点是，从整数出发，可以发展出一切数学。由于数学的许多现代分支同数的关系不大，如果在今天引用他的言论，可能会产生误导。不过，整数在数学中确实扮演着基本角色。而且，它们无疑扮演着将大多数人首次引入数学之门的角色：

正如我在上一章中所指出的，我们处理数的能力（对集合计数，进行算术运算）主要依赖于三种智力能力：数的意识、数值能力与算法能力。这些能力是否很常见？其他物种拥有何种程度的相同或类似的能力？我们的祖先何时又怎样取得它们的？它们为人类带来了什么生存上的益处？

在本章中，我们会对数的意识投以一瞥。而在下一章中，我们将转而研究算法能力。

……