原标题：揭开趣题的“尾巴”

作者：江苏高邮师范学校 225600 林革

文章来源：中学数学杂志(初中)：2001年第2期

某人去集市卖了 n 头牛，每头牛的价格是 n 个金币，然后他用这些卖牛的钱又买进了奇数只羊和一头小猪。已知每只羊的价格是10个金币，一头小猪的价格不到10个金币，请问这只小猪用了多少金币？

这道很有意思的小题目让许多人束手无策。因为从题目的表面上来看，数据不足缺乏条件似乎无从下手。真是这样么？让我们把此题暂且放在一边，先来讨论一番有关完全平方数的规律。

大家学习平方运算后，稍加观察就能发现：凡是开方能开得尽的那些正整数，其末位尾数必定是1,4,5,6,9（当然还有0)，而决不会是2,3,7,8；把它们自然排列后不难发现这两类数，刚好呈现出以5为中心数的严整对称：123456789.

我们再来进一步考察完全平方数的最后二位尾数，经过计算与分析可知这种"尾巴"一共只有00,01,04,09,16,21,24,25,29,36,41,44,49,56,61,64,69,76,81,84,89,96这22只。而且类似上面的排列后，可发现这些尾巴是以25为中心的、表现极其完美的对称分布，即：

21²=441

22²=484

23²=529

24²=576

25²=625

26²=676

27²=729

28²=784

29²=841

而且24²=576，26²=676，差数正好100；27²=729,23²=529，差数正好200；28²=784,22²=484，差数正好300;29²=841,21²=441，差数正好400;………其余依此类推。其实这一规律是由于下面的恒等式：

(25+a)²-(25-a)²=(625+50a+a²)-(625-50a+a²)=100a所致，掌握了这个规律对于我们记忆完全平方数的尾数极大帮助。

我们可以将22只尾巴分成五类，(00是一只非常特殊的尾巴，不能算作有效数字，为了方便起见，我们不妨把它从下面的五类中剔除。)

第一类：1的左邻只能是偶数，即01,21,41,61,81;

第二类：4的左邻也只能是偶数，即04,24,64,84,44;

第三类：9的左邻也只能是偶数，即09,29,49,69,89;

第四类：5的左邻只能是2，即唯一的25尾巴；

第五类：6的左邻只能是奇数，即16,36,56,76,96。

好，记住了完全平方数的最后二位尾数，我们再来看刚才的趣题，应该注意到：此人卖牛的收入n²是一个完全平方数。因为在前面的叙述总结中我们已经发现，仅仅平方数的尾数为6时，其左边的紧邻才是奇数，而在其他一切情况下，平方数的十位数必然都是偶数。据此我们可以断定：这头小猪的价钱必是6个金币。你明白了么？

PS：请注意，0是偶数。