本文讨论的主题与我的往期文章有关，链接放在下面：
https://m.toutiao.com/is/i2aGvKsS/ - 兰福德立方体和十六字令 - 今日头条
奇偶校验(Parity Check)是一种校验代码传输正确性的方法。本文则是它的引申义，指通过对奇偶性的讨论证明某种可能性不存在。
举个例子。
开场故事：难铺的瓷砖布朗先生的院子里铺有40块四方瓷砖。这些瓷砖已经破损老化，他想予以更新。
他为修整院子选购新的瓷砖。可惜，目前商店只供应长方形瓷砖，每块大小等于原先的两块。
店主：布朗先生，您要几块？布朗先生：唔，我要更换40块方瓷砖，所以我估计需要20块。
布朗先生试着用刚买的新瓷砖铺院子，结果弄得烦闷不堪。不论他怎么努力，总是无法铺好。
贝特西：出了什么问题，爸爸？
布朗先生：这些该死的瓷砖，真叫人恼火。最后总剩下两个方格没法铺上瓷砖。
布朗先生的女儿画了一张院子的平面图，并涂上颜色，看上去好似一张棋盘。然后她沉思了几分钟。
贝特西：啊哈！我看出症结所在了。请设想每块长方形瓷砖必定覆盖一个红格和一个白格，问题就清楚了。这里面有何奥妙，你理解贝特西的意思吗？
共有19个白格和21个红格，所以铺上19块瓷砖后，总要剩下2个红格没有铺，而一块长方形瓷砖是无法盖住2个红格的。唯一的办法是把最后一块长方形瓷砖一断为二。
奇偶校验布朗先生的女儿利用所谓"奇偶校验"解答了铺瓷砖问题。如果两个数都是奇数或都是偶数，则称其具有相同的奇偶性，如果一个数是奇数，另一个是偶数，则称其具有相反的奇偶性。在组合几何中，经常会遇到类似的情况。
在这个问题中，同色的两个格子具有相同的奇偶性，异色的两个格子具有相反的奇偶性。长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奇偶性的一对方格。布朗小姐首先说明，把19块长方形瓷砖在院内铺上后，只有在剩下的两个方格具有相反的奇偶性时，才能把最后一块长方形瓷砖铺上。由于剩下的两个方格具有相同的奇偶性，因此无法铺上最后一块长方形瓷砖。所以用20块长方形瓷砖来铺完院子是行不通的。
数学中许多著名的不可能性的证明都建立在奇偶校验上。也许你很熟悉欧几里得的著名证明：2的平方根不可能是一个有理数。证明是这样进行的，首先假设此平方根可以表示成一个既约的有理分数，则分子和分母不可能都是偶数，否则它就不是一个既约分数。分子、分母只可能都是奇数或者一个是奇数，另一个是偶数。欧几里得证明接着论证此分数不可能属于上述两种情况，换句话说，分子和分母不可能具有相同的奇偶性或相反的奇偶性。而任何有理分数是两者必居其一，因而反证了2的平方根不可能是一个有理数。
以上内容摘自美国科普大师马丁·加德纳的著作《啊哈！灵机一动》。
数学竞赛难题：排不成的队列全国首届中学生冬令营于1986年1月下旬在天津举行。为时两个上午（每上午四个半小时）的数学竞赛是这届冬令营的重要活动。通过这次竞赛，要选拔20名左右成绩优秀的学生参加集训，经过三个月的训练之后，再选出6名学生参加这一年7月在波兰举行的第二十七届国际数学竞赛。(突然想到了电视剧《天才基本法》)
冬令营数学竞赛共有六个题目。其中的第五题和第六题，这两个题目难倒了不少高中学生。他们没有找到窍门，思考方法不对路。若是掌握了诀窍，不多的几句话也就证出来了。
我们先介绍第五题。这个题目只涉及奇偶性的讨论。题目是这样的：
能否把1,1,2,2,3,3,…,1986,1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，………，两个1986之间夹着一千九百八十六个数？
请证明你的结论。
"证明你的结论"这一句话包含着两层意思：若不可能，就应当讲出十分确切的理由；若是可能，就应当具体列举一个符合要求的排法。
把数减少一些，理解一下什么是符合要求的排法。
对于两个数1,1而言，不存在符合要求的排法。因为这时除两个1之外，没有其他的数，因此两个1之间不可能再夹着一个数。
再看四个数1,1,2,2．先排两个2，中间空两个格子：
2□□2
准备放两个其他的数。其他的数只剩两个1了，所以两个空格中必须都填上1，可是这时两个1是连着排的，中间没有夹一个数，也不符合要求。所以，在这种情形，满足要求的排法也不存在。
接着看六个数1,1,2,2,3,3．这时，满足要求的排法是存在的，例如
312132
你看，两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，两个3之间正好夹着三个数。
再看1,1,2,2,3,3,4,4这八个数。这时，符合要求的排法是41312432
再看5个对子和6个对子的情况。
5个对子即1,1,2,2,3,3,4,4,5,5这十个数。
6个对子即1,1,2,2,3,3,4,4，5,5,6,6这十二个数。
5对和6对这两种情况都排不成。而7对和8对又能够排得成。
看起来。这个问题还很复杂。有的情况之下排得成，有的情况下又排不成。
此时此刻，产生了一个猜想：n个对子(2n个数)能否排成是一个周期问题，判定法是：n被4除，如果余数是1或者2，那么排不成:如果余数是3或者0(整除)就能够排成。
可以想到，对于我们的题目，排成排不成，一定与1986这个数的某种性质有关系。
因为1986÷4=496......2，
即496×4+2=1986，所以我们大胆猜想，肯定排不成。
即使盲猜，也会猜测排不成。因为在我们的题目中，共有2x1986=3972个数，实在太多了一点。这就使人能猜测到，"不能排成"的结论可能性最大。假如答案是"可以排成"，那么要把这3972个数排成符合要求的一行，不用说没有那么大的纸张，就是把四个半小时全花上去也远远不够。
当然，上面这一段话不能作为"不能排成"的理由。确切的理由来自于对奇偶性的讨论。
设想我们在一横行上画好3972个格子，从左到右按顺序给这些格子编上号码，写在格子的下方，如同下图画出的那样：
□□□□□□......□□□□
1 2 3 4 5 6 ......♥♠♣♦
(四种扑克花色代表格子序号3969～3972)
号码为奇数的格子叫做"奇号格"，号码为偶数的格子叫"偶号格"。很显然，有1986个奇号格，当然也有1986个偶号格。
假如满足要求的排法存在。现在，集中注意力于那1986个奇号格。
如果奇数 i 放在某一个奇号格内，由于另一个 i 与前者之间夹着 i 个（也就是奇数个）格子，所以另一个 i 所放的格子也是奇号格。这表明，一切奇号格中必有偶数个，记为2S,是被奇数所占据。
如果偶数 j 放在某一个奇号格内，由于另一个 j 与前者之间夹着 j 个（也就是偶数个）格子，所以后者所占的格子是偶号格。反过来，若某个偶数 j 已占偶号格，那么另一 j 必然占据奇号格。这表明：2,4,6,8,…,1984,1986这993个偶数中的每一个，有一次出现于奇数格，也有一次出现于偶数格。注意，1986个奇号格中，放着993个偶数，余下的放着2S个奇数，这样，我们有等式
993+2S=1986,
由此得出
2S=993,
这个等式是不能成立的，因为它的左边是偶数，而右边却是奇数。
这个矛盾说明了满足要求的排法根本不存在。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
