【题目呈现】一个三角形的三条边长是三个连续整数，已知它的最大角的平分线把对边分成两个部分，其中较小部分是7又9分之2厘米，求三条边的长度。
解题思路：因为三边长是连续自然数，所以设小边长为x-1，中边长为x，大边长为x+1。因为大角对大边，所以底边是大边x+1，据题意可作下图：
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底边是大边BC，左腰是中边AB，右腰是小边AC。AD是角平分线，故∠1=∠2。DC=7又9分之2，BD=x+1-7又9分之2。
三角形的角平分线有一个重要性质，就是三角形内角(或外角)的平分线内分(或外分)对边成两条线段和两条邻边成比例。所以有：
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怎么证明呢？请看下图：
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把BC看成底边，△ABD和△ACD是等高三角形，所以它们的面积之比等于BD:CD。角平分线有一个性质，角平分线上的点到角两边的距离相等。所以，把AB和AC看成底边，△ABD和△ACD是等高三角形，所以它们的面积之比等于AB:AC。综上所述，可得BD:CD=AB:AC。
外角平分线有如下结论：
图源百度百科
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因为与本文主题无关，证明就省略了。
下面开始解题。列方程并代入数据，得
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因为方程的根x₂不符合题意，舍去，答案是三边长分别是13，14和15。
意犹未尽解完本题，我们发现问题图的三角形是一个非常著名的海伦三角形。什么是海伦三角形？如果一个三角形的面积和边长都是整数，那么这个三角形就是海伦三角形。这个三角形的面积，古希腊的海伦计算过，古代中亚数学家计算过，南宋数学家秦九韶也计算过。现在我们来计算一下这个三角形的面积，向数学界的前辈先贤致敬。
下图所示是海伦公式：
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计算过程如下：
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下图所示是秦九韶公式：
去分母后的秦九韶公式
图片(温馨提示：使用海伦公式之前需要计算某个已知面积的三角形面积，验证你的记忆是否准确，这个公式容易记忆出错)
为了体现秦九韶公式的独特风格，我们来计算无理数三角形的面积：
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继续追问图片
既然求出了三边，又知道BD和CD的长度，那么能否计算出角平分线AD的长度呢？
答案是肯定的。简便方法是使用库斯顿定理，请看下图：
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把数据代入公式计算：
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继续追问，如果AD不是角平分线，而是中线，怎么计算呢？可以用中线长定理计算。详情请看下面的链接：
https://m.toutiao.com/is/i2M8AEDU/ - 八年级几何计算题变型一：特殊点变为任意点后的解法 - 今日头条
继续追问，如果AD是BC上的高，怎样计算BD和CD的长度？
问得好，我们用法国数学家韦达(1540～1603)提出的一个命题来计算。先介绍韦达的命题：
三角形底边与两腰之和的比等于两腰之差与底边被高线所分的两条线段之差的比。
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设底边为c，两腰为a和b，且a>b，BD>CD。
按照韦达的命题来计算：
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第二种解法是容易想到的，是用余弦定理来计算：
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所以，CD=6.6，而BD=15-6.6=8.4
BD和CD可以看作三角形的两腰在底边BC上的射影。
已知三角形面积和三边长度，求高太简单了，故省略。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。祝大家五一假期快乐。
