我们继续探讨前两期谈到的几何计算题，看一下关于角平分线的变型。题目呈现如下：

图1

角B的角平分线与对边交于点D，求AD和BD的值。首先介绍几何解法。

根据角平分线定理，在问题图中有下面的结论：

图2

用文字叙述就是：三角形的角平分线分对边与角的两边对应成比例。

而AB和BC及AC都是已知数，所以容易计算AD和CD的值。

图3

算法的原理见下图：

图4

那么如何计算BD的值呢？有一个漂亮的库斯顿定理可以秒杀。

图5

库斯顿是荷兰数学家。把已知条件和第一问的答案代入上面的库斯顿定理，计算过程如下：

图6

前两期我们都介绍了解析法，按照惯例我们继续介绍本题的解析几何解法。

首先介绍解析几何的重要基础知识：有向线段的定比分点坐标公式。

设点P是有向线段P₁P₂的定比分点，分线段为两部分，这两部分之比是一个定值，用希腊字母λ表示。线段的起点是P₁，终点是P₂，定比分点是P，这三个点的坐标和公式见下图：

图7

这是非常重要的公式，也是我们要用到的解题工具。公式有一个特款，及中点坐标公式：

图8

如果P是线段的中点，显然λ=1，定比分点坐标公式(公式1)就简化为上面的中点坐标公式(公式2)了。

解法二(解析法)：

解 在图1建立平面直角坐标系，设点B为原点，则三角形ABC的顶点坐标为：A(8，6)，B(0，0)，C(16，0)

由角平分线定理可知，点D分线段AC所成的比λ=5:8，代入图7的公式计算可得点D的坐标：

图9

计算AD和BD的值可以用下面的公式(1)和公式(2)：

图10

计算过程和结果如下：

图11

解法二可以看作综合法，运用了几何知识和解析几何知识。如果不用几何定理追求纯粹的解析法也可以解题，不过比较复杂，不推荐。大家看一下，做个简单的了解就行。

问题图

如图建系，设B为原点，利用复数的几何意义求直线BD的方程，再求直线AC的方程，两个方程联立求解，就得到两条直线交点D的坐标。图中所有点的坐标都知道了，用图10的公式就得到本题答案了。

解 把AB看作复数z₁=8+6i，设角平分线AD上的一点P，AP看作复数z₁的平方根，设为z₂=a+bi。由复数乘法的几何意义可知，AP²=AB=10，复数z₁的辐角主值是复数z₂的两倍。

z₁的平方根是3+i。初中同学没有学过复数，这里简单介绍一下。-1的平方根有两个，即±i，所以有i²=-1和(-i)²=-1。完全平方公式是恒等式，对实数和复数都成立。

(3+i)²=9+6i+i²，因为i²=-1，所以上式等于8+6i。于是得到点P坐标为(3，1)，所以可以写出直线AD的方程为

图12

因为直线AD过原点，所以是正比例函数y=kx的图象，y轴上的截距b=0。

接下来我们求直线AC的方程。

图13

我们可以用待定系数法求直线方程。设所求方程为y=kx+b，把已知两点的坐标代入得到两个二元一次方程，联立求解得到k和b的值，就能够写出直线方程了。过程请看图13。

把两个直线方程联立求解就得到交点D的坐标了

图14

既然求出了交点D的坐标，本题已经没有任何悬念了。后面的解题过程从略。

本题解法推荐几何法和综合法。几何法很漂亮，而且解题效率高，富有美感独具韵味。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。