第三章 一次函数

在§3·2里，我们已经知道函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ）的图象是一条直线。事实上，函数 y = kx + b 也可以看做是关于x和 y 的一次方程

kx- y + b =0.

这样，我们也就可以知道二元一次方程

kx - y + b =0

的图象是一条直线．

现在，我们来研究一般的情况，证明任何一个二元一次方程

ax + by + c =0( a , b 不同时为零）

的图象都是直线．

根据 a , b 可取值的条件，可以看出要证明这个结论应该分成三种情况，就是：(1) a ≠0, b ≠0;

(2) a =0, b ≠0;

(3) a ≠0, b =0.

(1) a ≠0, b ≠0．这时方程可以化为

这是x的一次函数，我们已经知道它的图象是一条直线。这条直线的斜率是

在 y 轴上的截距是

如果 c = 0 ,那末这条直线就经过原点。

(2) a =0,b≠0．这时方程可以化为

这里可以看到，不论变量x取什么实数值，和它对应的 y 的值总等于

所以它的图象是平行于x轴，并且和x轴的距离等于

的直线．当

时，直线在x轴上方；当

时，直线在x轴下方；特别，当 c =0时，

所以它的图象就是x轴（图3.15)。

(3) a ≠0, b =0．这时方程可以化为

可以看到，不论变量 y 取什么实数值，和它对应的x的值总等于

所以它的图象是平行于 y 轴，并且和 y 轴的距离是

的一条直线。当

时，直线在 y 轴的右边；当

时，直线在 y 轴的左边；特别，当 c =0时，

所以它的图象就是 y 轴（图3.16)。

图3.16

总结上面这三种情况，我们得到

方程 ax + by + c = 0 ( a , b 不同时等于零）的图象是一条直线。

以后我们把这个图象，简称为直线 ax + by + c =0.

注 由于二元一次方程的图象是直线，所以常把一次方程叫做线性方程。

例1．在同一坐标系里作方程：

(1)x- y +2=0; (2)2x+ y +1=0

的图象．

【解】列表：

作图：

图3.17

说明 我们已经知道，画出一条直线，只要找出直线上的两个点。为了计算上的方便，如果方程 ax + by + c =0中， c ≠0，我们可以分别使 x =0和 y =0，找出和它们对应的 y 和 x ［象（1）中所用的方法］，从而来得到这两个点．但是有时为了使所求出的点尽可能用整数来表示，以便于作图，也可以通过观察，适当地选择 x 的两个整数值，求出和它们对应的 y 的整数值，从而来得到这两个点［象（2）中所用的方法］。

例2.在同一坐标系中作下面这三个方程：

(1)2x-3y+4=0;

(2)4x-6y+8=0;

(3)4x-6y-2=0

的图象．

【解】列表：

作图：

注 事实上，我们知道在（2）中等号两边都除以2，就得2x-3y+4=0，所以方程（2）和方程（1）是同一个方程，它们的图象是同一条直线。

1．作下列各方程的图象：

(2) 4x-5y-20=0;

(3) y -4=0;

(4) x +4=0.

2．求上题中前面三条直线的斜率和在 y 轴上的截距。

3.(1）作出方程4x-3y=8的图象；

(2）求这条直线的斜率， y 轴上的截距；

(3）这条直线是不是和 x 轴相交？如果相交，交点离开原点的距离是什么？

(4）从图象上找出当

的时候，适合于方程的 y 的值；

(5）从图象上找出当 y =4,-3的时候，适合于方程的 x 的值。

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下期预告

3·5二元一次方程组的图象解法和解的组数

1．二元一次方程组的图象解法

如果在同一坐标系里画出二元一次方程组里两个方程的图象，就可以根据图象求出方程组的解。这种解法叫做二元一次方程组的图象解法。现在举例说明如下：

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科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。