抖音作者把下面的公式

(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc- ac）

=a³+b³+c³-3abc

称为三个老头公式。

a³和b³及c³就是三个老头，属于爷爷辈，a²和b²及c²就属于父辈，其余的都是儿孙辈。

这个比喻挺形象的，取个名字好称呼，不错。

三个老头公式从左到右是整式的乘法，反过来，从右到左是因式分解。本文就从这两个角度来聊聊三个老头公式。

应用乘法对于加法的分配律和多项式与单项式相乘的法则，我们就可以做多项式乘以多项式的乘法。

多项式乘以多项式的法则

多项式乘以多项式，只要把一个多项式的所有各项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，有同类项要加以合并。

我们现在要来研究，怎样利用一些公式使某些多项式的乘法做起来比较简便，这些公式叫做乘法公式。

两数和与差的积

第一个因式是两个代数式的和，而第二个因式恰巧就是这两个代数式的差。所求得的积，恰巧就是因式里两个代数式的平方的差。

两数的和与这两数的差的积等于这两个数的平方差。

把这个结论用字母来表示，就得到下面的公式：

( a + b )( a - b )=a²- b²（乘法公式1).

这里 a 与 b 可以表示任意的代数式，但公式里所有的 a 都要表示同样的代数式，所有的 b 也都要表示另一个同样的代数式．

二项式的平方公式：

( a + b )²=a²+2ab+ b²（乘法公式2).

( a - b )²=a²-2ab+ b²（乘法公式3)

三项式的平方公式

(a+b+ c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2b

（乘法公式4).

(a+ b)(a²-ab + b²)=a³+ b³（乘法公式5).

(a-b )( a²+ab + b²)=a³-b³（乘法公式6)

二项式的立方公式：

(a+b)³ =a³+3a²b+3ab²+b³（乘法公式7).

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³（乘法公式8).

两个一元一次二项式的积：

(x+ a)(x+b)= x²+(a+b)x + ab

（乘法公式9).

(ax+b)(cx+d)=acx²+(bc+ad)x+ bd

（乘法公式10).

重点来了，本文主角闪亮登场。

(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac）的积

从实际运算可以得到三个老头乘法公式：

(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc- ac）

=a³+b³+c³-3abc

（乘法公式11).

这个式子左边的两个因式，第一个是三个数的和，第二个是包括六项的代数和，其中三项分别是这三个数的平方，另外三项是这三个数中两两相乘的积的相反数，这个式子右边的乘积是一个四项式，其中三项分别是这三个数的立方，第四项是这三个数的乘积的相反数。

例题1 利用乘法公式计算：

(a+2b-3c)(a²+4b²+9c²-2ab+3ac+6bc).

审题：a²,4b²,9c²分别是 a ,2b,-3c的平方，-2ab,+3ac,+6bc分别是这三个数中两两相乘的积的相反数，因此，可用公式

解：

(a+2b-3c)(a²+4b²+9c²-2ab+3ac+6bc)

=a³+(2b)³+(-3c)³-3a(2b)(-3c)

=a³+8b³+27c³+18abc

习题：利用乘法公式计算：

1.(a-b-c)(a²+b²+c²+ab+ac- bc ).

2.(2a+b-5c)(4a²+b²+25c²-2ab+10ac+5bc).

3. (3a+2b+1)(9a²+4b²+1-6ab-3a-2b).

4.(-2a+3b-4c)(4a²+9b²+16c²+6ab-8ac+12bc)

在上一章里，我们学习了整式的各种运算。进一步我们将学习分式的运算。但在这之前，我们要先学习多项式的因式分解，这和算术里学习分数以前，先要学习整数的因数分解一样，这一章里我们就来讨论多项式的因式分解。

§4.1因式分解的意义

在算术里我们知道，一个自然数如果除掉1和它本身以外，不能被其他自然数整除，那末这个数就叫做质数又叫素数；如果还能够被其他自然数整除，那末这个数就叫做合数．自然数1既不是质数，也不是合数．

对于一个合数，我们总可以把它分解成若干个质因数的连乘积。

把一个自然数分解成几个因数的连乘积叫做自然数的因数分解。在进行因数分解的时候，通常总要把它分解到所有的因数都是质数为止，这种因数叫做质因数。

例如，对于合数224，可以用短除法进行因数分解，得到

224=2⁵·7

我们知道，几个整式相乘，每一个整式都叫做它们的积的因式。

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解．

因式分解是整式的一种恒等变形。

在进行多项式的因式分解时，象算术里分解因数一样，通常也要把这多项式分解到不能再分解为止。

在代数里，一个单项式已经是数字因数和字母因数的乘积的形式了，例如3a²b³c 就是3×a×a×b×b×b×c,而3a²b³c的写法比3aabbbc的写法简便，因此单项式不再需要分解因式了。

下面我们来研究多项式的因式分解的各种方法。

a³+b³+c³-3abc的因式分解公式

在乘法公式里，我们学到过一个公式：

(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac- bc)

=a³+b³+c³-3abc.

反过来，我们就得到因式分解的公式：

a³+b³+c³-3abc

=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac- bc)

（因式分解公式8).

例2 分解因式：8a³+b³+27c³-18abc.

［审题］

这里8a³=(2a)³,27c³=(3c)³，而-18abc刚巧等于-3(2a)( b )(3c)，因此可用上述公式来分解

8a³+b³+27c³-18abc

=(2a+b+3c)(4a²+b²+9c²-2ab-6ac-3bc).

例3 分解因式：

a³-8b³+c³+6abc.

［审题］这里-8b³=(-2b)³ ，而＋6abc=-3a(-2b)(c)，所

以可用上述公式分解．

解 a³-8b³+c³+6abc

=(a-2b+c)(a²+4b²+c²+2ab-ac +2bc)

习题

分解下列因式：

1. 27a³+b³+c³-9abc.

2.a³-b³-c³-3abc.

3.-a³+b³+8c³+6abc.

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

(摘编自《数理化自学丛书第二版·代数第一册》)