你能想象到的最大数字是多少？你可能不会说1000，你也不会说10亿，因为无论你能想到多大的数字，你总是可以在这个数字前面加1，这个数字会更大。那么无穷大呢？无穷大是一种模糊的概念，那么无穷大之外还有什么东西吗？

答案是肯定的的，确实有比无穷大的东西。但要解释这一点，我们首先需要回到 18 世纪末。

那时，人们对科学充满信心。人们认为当时的物理学已经相当完善，对数学领域也有很多的乐观情绪，因为这种想法盛行，可以为一切“真实”的事物找到证据。当时出现了一位著名的数学家是格奥尔格·康托尔(Georg Cantor)。

数学家格奥尔托·康托尔

康托尔是第一个表明存在超越无限的东西的人。 他的解释非常简洁大方，在当时，彻底颠覆了数学界。

根据 Cantor 的说法，存在两种类型的无穷大。这可以通过使用大卫希尔伯特的大酒店悖论得到最好的解释（希尔伯特是当时另一位著名的数学家）。希尔伯特旅馆是一个思想实验，它说明了无限集的一个违反直觉的属性。

想象有一家拥有无限数量客房的酒店。每间房间都有编号，所以有房间 1,房间2,房间3,房间4,房间5,房间6,房间7……一直到房间∞。

有一天酒店订满了；每个房间都有一位客人。这天，接待处出又现了一位新客人。客人问： “你们还有空房间吗？” 接待员回答说： “当然有，” 然后继续将所有客人转移到另一个房间，即住1号房的客人搬到2号房，2号房的客人搬到3号房，以此类推。

此操作为新客人腾出第一个房间。 （∞ + 1 = ∞）。 通过重复此过程，可以为任何有限数量的新客人腾出空间。

那么，如果一辆无限长的公共汽车载着无限多的新客人到达，而所有这些客人都要求空房间怎么办？ 接待员再次说： “这完全没有问题”。 所以他制定了以下计划：

每个人都必须离开他们的房间，查看他们的房间号，将其乘以 2，然后去那个号码的房间。 （所以住在 1 号房的客人搬到 2 号房，2 号房的客人搬到 4 号房，3 号房的客人搬到 6 号房，依此类推。）

您会看到所有偶数号房间都被这个计划占用，释放所有奇数号房间。偶数号和奇数号的房间都是无限的，所以空出的房间现在可以被无限多的新客人入住。简而言之，现在可以容纳无限量客人的巴士。 （无穷大 + 无穷大= 无穷大）

为客人腾出新房间

让我们更大胆地想象一下，无限多辆无限长的公共汽车载着无限多的乘客 ，所有这些人都想要一间空房间。然而这并没有难倒狡猾的接待员，他再次制定解决此问题的计划：

所有当前的客人都需要像以前一样去偶数号房间。然后1 路公交车上的新客人会去编号为 3、9、27 等的房间，即 3 的幂。2 路公交车上的新客人 搬进房间 5、25、125，即5 的次方。以此类推，3 路公交车的新客人 将乘坐 7、49、343 等房间（7的次方）。我们现在可以肯定地知道所有新客人都有空间。

一般来说，任何所谓的 配对功能 都可以用来解决这个问题（假设每辆公共汽车上的座位也有编号）。不过，这有点超出了本文的范围；尽管如此，我们还是可以得出 无穷大x 无穷大= 无穷大的结论。

如何超越无限？

所以如果“无穷大 + 无穷大= 无穷大，无穷大 + 无穷大= 无穷大和无穷大x 无穷大= 无穷大”，那么我们要如何超越无穷大？

为了回答这个问题，让我们再次回到希尔伯特的旅馆。一辆奇怪的公共汽车刚刚到达：十进制公共汽车。这辆巨大的公共汽车上有非常奇特的姓氏，由小数组成。小数是介于 0 和 1 之间的数字，例如 0.384882...（一直持续到无穷大）或介于 1 和 2 之间，例如 1.489383...（持续到无穷大）等等。

公交车司机再次问接待员酒店是否有空位供他的乘客使用。令公交车司机惊讶的是，接待员却回答说：“不，对不起，那行不通。”

公交车司机生气地说：“但是你有足够的空间容纳无限多的公共汽车和无限多的乘客，为什么你没有空间容纳我的乘客？” 接待员继续回答说根本没有房间。恼怒的公交车司机不相信接待员， 所以接待员建议玩一个游戏来确定谁是对的。

公交车司机可以提交一份清单，确定每位公交车乘客将获得哪个房间。轮到接待员时，他可以指出不在名单上但在公共汽车上有座位的人。（所以公交车司机错过了一位乘客）。

让我们首先使用房间数量有限的旅馆玩游戏，以更好地说明游戏的优点。让我们乘坐有4个房间的旅馆和5个座位的公共汽车。在这种情况下，公交车司机将永远无法为他的所有乘客找到一个房间。四个房间里的五个人不适合， 所以对于公交车司机提交的每一个可以想象的名单，接待员都可以说有一个失踪的乘客。

但是，如果酒店有 5 个房间，则可以提供每个公共汽车乘客得到一个房间的列表。 然而，接待员想证明无限小数巴士比无限希尔伯特旅馆更大，那他能做什么呢？

这就是 Cantor 的用武之地 。Cantor 声称在这种情况下，接待员总是会赢。 接待员可以应用一种算法，这样他总能赢。

让我们看一下公交车司机可能制作的清单的一部分：

在此列表中，房间 1 将容纳乘客 0.81077415 ……（这会一直持续到无穷大），房间 2 将容纳乘客 0.32148673 ……等等。所以现在接待员必须指出一位不在列表中的公共汽车乘客。

他查看第一个房间所列客人的姓氏，注意到 小数点右边的 第一个 数字是 8 (0. 8 1077415…)。然后他将 1 添加到这个数字，使其成为 9 (0. 9. ..)；从这一点开始，我们知道任何以 0.9...开头的数字 都不会占用房间 1。

他继续查看第二个房间的住户名单，并查看 小数点右侧的 第二位数字。在这种情况下，它是 2 (0.3 2 148673…)。 再次，他将 1 添加到这个数字，使其成为 3 (0.3 3 ...)。我们 现在知道，任何以 0.93 开头的数字…… 都不会占用房间 1 或 2。

如果接待员继续这样做（房间 3：0.53 0..， 房间 4：0.769 7...， 房间 5：0.8368 0...，房间 6 0.87934 4， 等等） 我们现在知道任何以 0.930704... 不占用1、2、3、4、5、6号房间，接待员 可以一直这样下去，创造一个公交车司机名单上不存在的号码， 这意味着接待员赢了。

无论公交车司机准备什么名单，接待员总能按照这个食谱找出不在名单上的乘客。

我们可以得出结论，十进制巴士的无穷大大于希尔伯特旅馆房间的无穷大。换句话说， 实数 （可以表示沿直线的距离的数字。它们可以是正数、负数或零） 比自然数 （数 1、2、3 ……就像我们在希尔伯特旅馆遇到的那样）更多)

对于许多人来说，需要一些时间才能让其深入人心；这是你必须学会欣赏的东西。事实上，康托尔那个时代的很多数学家并不喜欢他的无穷大思想。它被描述为无稽之谈和谬论。康托尔甚至遭受了一些人身攻击，被称为江湖骗子和“腐蚀青春的人”。当时的一些神学家甚至将其视为对上帝的攻击。

尽管如此，在后来的某个时间点，皇家学会还是授予了康托尔西尔维斯特奖章，这是它可以授予数学工作的最高荣誉。此外，大卫·希尔伯特本人也为坎塔尔关于无穷大的观点辩护，因为他们确实与他交谈过。如此之多以至于他继续说道： “没有人可以将我们驱逐出康托尔创造的天堂。”